Question

如圖，拋物線y=-

1

2

x²+

3

2

x+2交x軸于A、B兩點，交y軸于點C．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）在y軸上找點P，連接PB，若△PBC為等腰三角形，求：點P的坐標(biāo)；
（3）在拋物線BC上取點E，連接CE和BE，△BCE的面積是否存在最大值？若存在，求出點E的坐標(biāo)及△BCE的最大面積．

Answer 1

分析：（1）求得AC、BC、AB長，利用勾股定理的逆定理求得∠ACB=90°，或者利用△AOC∽△COB求證．
（2）應(yīng)分PB=BC，PC=BC，PC=PB三種情況進(jìn)行解答．
（3）用一個字母設(shè)出點E坐標(biāo)，表示出△BCE的面積．利用二次函數(shù)求出最值即可．

解答：解：（1）可得A（-1，0），B（4，0），C（0，2）
由AC²+BC²=AB²，得△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形．
也可由△AOC∽△COB得出結(jié)果．

（2）存在四個點（0，-2）；（0，-3）；（0，-2

5

+2），（0，2

5

+2）；

（3）設(shè)E點坐標(biāo)（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），
過E作ED⊥x軸交軸于點D，交BC于點F，
由△BDF∽△BOC得DF=2-

m

2

，
EF=DE-DF=-

1

2

m²+2m，
S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF=

1

2

EF•OD+

1

2

EF•BD=

1

2

EF•OB=-（m-2）²+4，
∴最大面積為4．
此時E（2，3）．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)，以及二次函數(shù)最值的運用等知識點．