Question

如圖1，在平面直角坐標系中，直線l：沿x軸翻折后，與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線與y軸交于點D，與直線AB交于點E、點F（點F在點E的右側）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）若線段DF∥x軸，求拋物線的解析式；

（3）如圖2，在（2）的條件下，過F作FH⊥x軸于點G，與直線l交于點H，在拋物線上是否存在P、Q兩點（點P在點Q的上方），PQ與AF交于點M，與FH交于點N，使得直線PQ既平分△AFH的周長，又平分△AFH面積，如果存在，求出P、Q的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為．

      直線與x軸、y軸交點分別為（－2，0），（0，）

     沿x軸翻折，則直線、直線AB與x軸交于同一點（－2，0）

∴A（－2，0）．與y軸的交點（0，）與點B關于x軸對稱

∴B（0，）

∴解得，．

∴直線AB的解析式為 ．

（2）拋物線的頂點為P（h，0），拋物線解析式為：＝．

∴D（0，）．∵DF∥x軸，∴點F（2h，），

又點F在直線AB上，∴．

解得 ，．（舍去）

∴拋物線的解析式為．

                    

（3）過M作MT⊥FH于T，

∴Rt△MTF∽Rt△AGF．

∴．

設FT＝3k，TM＝4k，FM＝5k．

則FN＝－FM＝16－5k．

∴．

∵＝48，

又．

∴．

解得或（舍去）．

∴FM＝6，FT＝，MT＝，GN＝4，TG＝．

∴M（，）、N（6，－4）．

∴直線MN的解析式為：．

聯(lián)立與，求得P（1，）； Q（3，0）