Question

如圖①，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在軸的正半軸上，點(diǎn)C在軸的正半軸上，OA=5，OC=4.

（1）在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D、E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，若AE上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A、E重合）自A點(diǎn)沿AE方向向E點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，過P點(diǎn)作ED的平行線交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作AE的平行線交DE于點(diǎn)N.求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，以A、M、E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)時(shí)刻點(diǎn)M的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱軸，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE==3．

∴CE=2．

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC²+CE²=DE²，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）²+2²=OD²．

解得：OD=．

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．

（2）如圖①∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

又知AP=t，ED=，AE=5，

PM=×=，

又∵PE=5﹣t．

而顯然四邊形PMNE為矩形．

S_矩形PMNE=PM•PE=×（5﹣t）=﹣t²+t；

∴S_{四邊形PMNE}=﹣（t﹣）²+，

又∵0＜＜5．

∴當(dāng)t=時(shí)，S_矩形PMNE有最大值．

（3）（i）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖①）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點(diǎn)，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點(diǎn)．

過點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴當(dāng)t=時(shí)，（0＜＜5），△AME為等腰三角形．

此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

（ii）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖②）

在Rt△AOD中，AD===．

過點(diǎn)M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴．

∴t=AP===2，

∴PM=t=．

∴MF=MP=，OF=OA﹣AF=OA﹣AP=5﹣2，

∴當(dāng)t=2時(shí)，（0＜2＜5），此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（5﹣2，）．

綜合（i）（ii）可知，t=或t=2時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，

相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（5﹣2，）．

         

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE=OA，OD=DE，那么可在直角三角形ABE中，用勾股定理求出BE的長，進(jìn)而可求出CE的長，也就得出了E點(diǎn)的坐標(biāo)． 在直角三角形CDE中，CE長已經(jīng)求出，CD=OC﹣OD=4﹣OD，DE=OD，用勾股定理即可求出OD的長，也就求出了D點(diǎn)的坐標(biāo)． （2）很顯然四邊形PMNE是個(gè)矩形，可用時(shí)間t表示出AP，PE的長，然后根據(jù)相似三角形APM和AED求出PM的長，進(jìn)而可根據(jù)矩形的面積公式得出S，t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值． （3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論： ①M(fèi)E=MA時(shí)，此時(shí)MP為三角形ADE的中位線，那么AP=，據(jù)此可求出t的值，過M作MF⊥OA于F，那么MF也是三角形AOD的中位線，M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A點(diǎn)橫坐標(biāo)的一半，縱坐標(biāo)為D點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半．由此可求出M的坐標(biāo)． ②當(dāng)MA=AE時(shí)，先在直角三角形OAD中求出斜邊AD的長，然后根據(jù)相似三角形AMP和ADE來求出AP，MP的長，也就能求出t的值．根據(jù)折疊的性質(zhì)，此時(shí)AF=AP，MF=MP，也就求出了M的坐標(biāo)．