Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，點A在x軸上，點C在y軸上，將邊BC折疊，使點B落在邊OA的點D處．已知折疊CE=5

5

，且tan∠EDA=

3

4

．
（1）判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由；
（2）求直線CE與x軸交點P的坐標；
（3）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證兩三角形相似，必須得出兩組對應(yīng)角相等，所求的兩個三角形中，已知了一組直角，因此只需找出另一組對應(yīng)角相等即可得出相似的結(jié)論．由于∠CDE為90°，那么∠CDO和∠EDA互余，而∠OCD也和∠CDO互余，因此根據(jù)同角的余角相等即可得出∠OCD=∠EDA，由此可證得兩三角形相似．
（2）本題的關(guān)鍵是求出C、E點的坐標，根據(jù)∠EDA的正切值，可設(shè)AE=3t，那么DA=4t，DE=5t．則OC=AE+BE=AE+DE=8t，進而可根據(jù)（1）的相似三角形得出的關(guān)于OC、CD、AD、DE的比例關(guān)系式，來求出CD的值，然后可在直角三角形CDE中求出t的值，即可得出AE、BC的長，即確定了E點的坐標，然后根據(jù)C，E兩點的坐標求出直線CE的解析式，即可求得直線CE與x軸交點P的坐標．
（3）應(yīng)該有兩條如圖
①直線BF，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出兩三角形相似，那么可根據(jù)B、D兩點的坐標求出此直線的解析式．
②直線DN，由于∠FCP=∠NDO，那么可根據(jù)∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的長求出ON的值，即可求出N點的坐標，然后根據(jù)N、D兩點的坐標求出直線DN的解析式．

解答：解：（1）△OCD與△ADE相似．
理由如下：
由折疊知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EOA．
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE．

（2）∵tan∠EDA=

AE

AD

=

3

4

，
∴設(shè)AE=3t，則AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得

OC

AD

=

CD

DE

，
∴

8t

4t

=

CD

5t

，
∴CD=10t．
在△DCE中，∵CD²+DE²=CE²，
∴（10t）²+（5t）²=（5

5

）²，
解得t=1．
∴OC=8，AE=3，點C的坐標為（0，8），
點E的坐標為（10，3），
設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，
∴

10k+b=3 b=8

，
解得

k=- 1 2 b=8

∴y=-

1

2

x+8，則點P的坐標為（16，0）．

（3）滿足條件的直線l有2條：y₁=-2x+12，y₂=2x-12．
如圖：準確畫出兩條直線．

點評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、圖形的翻折變換、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．