Question

5．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，E為CD的中點，連接AE、BE，AE=BE，AE⊥BE，若BC-CD=2，AD=$\sqrt{74}$，則AB邊的長為13$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 過A作AF⊥CD于點F，首先證明△AFE≌△ECB，設(shè)CE=x，則AF=DE=x，CD=2x，則EF=BC=2x+2，DF=EF-DE=2x+2-x=x+2
在Rt△ADF中，x²+（x+2）²=（$\sqrt{74}$）²，在Rt△AEF中，根據(jù)AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$求出AE，再根據(jù)AB=$\sqrt{2}$AE，即可解決問題．

解答 解：過A作AF⊥CD于點F

∵∠F=∠AEB=∠C=90°，
∴∠AEF+∠FAD=90°，∠AEF+∠CEB=90°，
∴∠FAE=∠CEB，
在△AFE和△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠C}\\{∠FAE=∠CEB}\\{AE=EB}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△ECB
∴AF=CE，EF=BC
∵E是CD中點，
∴DE=EC
∵BC-CD=2，
∴BC=CD+2
設(shè)CE=x，則AF=DE=x，CD=2x，EF=BC=2x+2
DF=EF-DE=2x+2-x=x+2
在Rt△ADF中，x²+（x+2）²=（$\sqrt{74}$）²
∴x=5
在Rt△AEF中，AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=13，
∴AB=$\sqrt{2}$AE=13$\sqrt{2}$，
故答案為13$\sqrt{2}$

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，靈活運用勾股定理，屬于中考�？碱}型．