Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠ABC=30°，BC=a．直線l₁是AB的中垂線交BC于B₁，過B₁作B₁A平行于AB交AC于A₁，再作B₁A₁的中垂線交BC于B₂，過B₂作B₂A₂平行于AB交AC于A₂，作B₂A₂的中垂線BC于B₃，如此下去到B_n，則B_n-1B_n=

2n-1

3n

a

．

Answer 1

分析：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到BD=

1

2

BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B=30°，然后求出AB、BB₁，同理求出B₁B₂、B₂B₃，然后根據(jù)規(guī)律寫出B_n-1B_n即可．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，BC=a，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

a，
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠B=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴AB=BD÷

3

2

=

1

2

a÷

3

2

=

3

3

a，
∵直線l₁是AB的中垂線交BC于B₁，
∴BB₁=

1

2

AB÷

3

2

=（

1

2

×

3

3

a）÷

3

2

=

1

3

a，
同理可求，B₁B₂=

1

3

（a-

1

3

a）=

2

9

a，
B₂B₃=

1

3

（a-

1

3

a-

2

9

a）=

4

27

a=

22

33

a，
…，
依此類推，B_n-1B_n=

2n-1

3n

a．
故答案為：

2n-1

3n

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)計(jì)算結(jié)果觀察出數(shù)字變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．