Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-

1

2

x²+bx+c與x軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標；
（2）設拋物線的對稱軸與x軸交于點D，將∠DCB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊CD和CB與x軸分別交于點P、Q，設旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α≤90°）．
①當α等于多少度時，△CPQ是等腰三角形？
②設BP=t，AQ=s，求s與t之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過A，B兩點，可將A，B的坐標代入拋物線的解析式中用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．然后可根據(jù)拋物線的解析式得出頂點C的坐標．
（2）①本題要分三種情況進行討論：
當CQ=CP時，∠PCD=∠QCD=22.5°，因此旋轉(zhuǎn)角α=22.5°；
當CQ=QP時，∠CPQ=∠PCQ=45°，因此P，A重合．旋轉(zhuǎn)角為45°；
當CP=QP時，∠CQP=∠PCQ=45°，因此旋轉(zhuǎn)角α=0°，根據(jù)α的取值范圍可知此種情況是不成立的．由此可得出旋轉(zhuǎn)角為22.5°或45°時，△CPQ是等腰三角形．
②本題可根據(jù)相似三角形來求．分兩種情況進行討論：
當0°＜α≤45°時，由于∠A=∠B=45°，∠ACQ和∠BPC都是45°加上一個相同的角，因此△ACQ∽△BPC，即可通過相似三角形得出關于BP，AQ，AC，BC的比例關系式，由于AC，BC的值可通過A，B，C三點的坐標來求出，由此可得出s，t的函數(shù)關系式．
當45°＜α＜90°時，與一的求法完全相同．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得

- 1 2 +b+c=0 - 25 2 +5b+c=0

，
解得

b=3 c=- 5 2

，
∴y=-

1

2

x²+3x-

5

2

=-

1

2

（x-3）²+2，
∴頂點C的坐標為（3，2）．

（2）①∵CD=DB=AD=2，CD⊥AB，
∴∠DCB=∠CBD=45度．
若CQ=CP，則∠PCD=

1

2

∠PCQ=22.5度．
∴當α=22.5°時，△CPQ是等腰三角形．
ⅱ）若CQ=PQ，則∠CPQ=∠PCQ=45°，
此時點Q與D重合，點P與A重合．
∴當α=45°時，
△CPQ是等腰三角形．
若PC=PQ，∠PCQ=∠PQC=45°，此時點Q與B重合，點P與D重合．
∴α=0°，不合題意．
∴當α=22.5°或45°時，△CPQ是等腰三角形．

②連接AC，∵AD=CD=2，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CAD=45°，AC=BC=

22+22

=2

2

當0°＜α≤45°時，
∵∠ACQ=∠ACP+∠PCQ=∠ACP+45度．
∠BPC=∠ACP+∠CAD=∠ACP+45度．
∴∠ACQ=∠BPC．
又∵∠CAQ=∠PBC=45°，
∴△ACQ∽△BPC．
∴

AQ

BC

=

AC

BP

．
∴AQ•BP=AC•BC=2

2

×2

2

=8
當45°＜α＜90°時，同理可得AQ•BP=AC•BC=8，
∴s=

8

t

．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、三角形相似、探究等腰三角形的構成情況等重要知識點，綜合性強，能力要求較高．考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．