Question

求函數(shù)y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：無(wú)理函數(shù)的最值

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：可將不熟悉的“求兩個(gè)二次根式和的最小值”的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“求兩條線段和的最小值“的問題．若A的坐標(biāo)為（x，0），B的坐標(biāo)為（-2，1），C的坐標(biāo)為（2，2），則根據(jù)勾股定理可得AB=

(x+2)2+12

，AC=

(x-2)2+22

，從而得到y(tǒng)=AB+AC，只需求出AB+AC的最小值就可解決問題．

解答：解：如圖，B的坐標(biāo)為（-2，1），C的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)A在x軸上．
過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)C′，使得EC′=EC，連接AB、AC、AC′、BC′，
則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（2，-2）．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，0），
在Rt△ADB中，
∵AD=

.

x-(-2)

.

=

.

x+2

.

，BD=1，
∴AB=

AD2+BD2

=

(x+2)2+12

=

x2+4x+5

．
在Rt△AEC中，
∵AE=

.

2-x

.

，CE=2，
∴AC=

AE2+CE2

=

(2-x)2+22

=

x2-4x+8

．
∵AE⊥CC′，CE=C′E，∴AC=AC′．
∴y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

=AB+AC=AB+AC′．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：
當(dāng)B、A、C′三點(diǎn)共線時(shí)，y取到最小值，等于BC′長(zhǎng)．
過點(diǎn)C′作C′H⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于H，
在Rt△BHC′中，
∵BH=1-（-2）=3，C′H=2-（-2）=4，
∴BC′=

BH2+C′H2

=5．
∴y=

x2+4x+5

+

x2-4x+8

的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，考查了創(chuàng)造性思維和數(shù)形結(jié)合的思想，而把問題轉(zhuǎn)化為求線段和的最小值是解決本題的關(guān)鍵．