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如圖甲,已知在⊙O中,AB=4
3
,AC是⊙O的直徑,AC⊥BD于F,∠A=30度.
(1)連接BC,CD,請你判定四邊形OBCD是何種特殊的四邊形?試說明理由;
(2)若用扇形OBD圍成一個圓錐側面,請出這個圓錐的底面圓的半徑;
(3)如圖乙,若將“∠A=30°”改為“∠A=22.5°”,其余條件不變,以半徑OB、OD的中點M、N為頂點作矩形MNGH,頂點G、H在⊙O的劣弧
BD
上,GH交OC于點E.試求圖中陰影部分的面積.(結果保留π)
(1)四邊形OBCD是菱形.
如圖丙,∵AC⊥BD,AC是直徑,
∴AC垂直平分BD.
∴BF=FD,
BC
=
CD

∴∠BAD=2∠BAC=60°,
∴∠BOD=120°.
∵BF=
1
2
AB=2
3
,
在Rt△ABF中,
AF=
AB2-BF2
=
(4
3
)
2
-(2
3
)
2
=
36
=6.
在Rt△BOF中,
∴OB2=BF2+OF2.即(2
3
)2+(6-OB)2=OB2

解得:OB=4.
∵OA=OB=4,
∴OF=AF-AO=6-4=2,
∵AC=2OA=8,
∴CF=AC-AF=8-6=2,
∴CF=OF,
∵BF=FD,AC⊥BD,
∴四邊形OBCD是菱形;

(2)設圓錐的底面圓的半徑為r,則周長為2πr.
∵扇形OBD的弧長=
120
180
π•4=
8
3
π,
2πr=
8
3
π
,
解得:r=
4
3
;

(3)如圖丁,連接OH.
∵∠A=22.5°,
∴∠BOC=45°,
∵∠BOD=∠BOC=90°,OB=OD=4,
∴BD=
2
OB=4
2

∴OF=
1
2
BD=2
2
,
∵M、N是OB、OD的中點,
∴MN=
1
2
BD=
1
2
×4
2
=2
2
,
∵四邊形MNGH是矩形,
∴MN=GH=2
2
,EH=EG=
1
2
MN=
2
,
在Rt△HOE中,OE2=OH2-HE2,即OE2=42-(
2
2,
解得:OE=
14

∴EF=OE-OF=
14
-2
2

∵扇形OBD的面積=
1
2
lR
=
1
2
×
8
3
π
×4=
16
3
π
,
∴圖中陰影部分的面積=
16
3
π
-
1
2
×4×4-(
14
-2
2
)×2
2
=
16
3
π
-8-4
7
+8
=
16
3
π
-4
7

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3
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