Question

如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，AD⊥BC，點(diǎn)P為邊AB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交線段BD于點(diǎn)F，作PG⊥AB交AD于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)G，設(shè)BP=x．
（1）①試判斷BG與2BP的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；②用x的代數(shù)式表示線段DG的長(zhǎng)，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）記△DEF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG是否可能相似？如果能相似，請(qǐng)求出BP的長(zhǎng)，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①BG=2BP，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BGP=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；②BG=2BP，BD=

1

2

BC=1，則DG=2x-1，根據(jù)點(diǎn)G在線段CD上，所以求G與D、C重合時(shí)x的值即可確定自變量x的取值范圍，即可解題．（2）根據(jù)勾股定理求出GP，證△EDG∽△BPG得

ED

BP

=

DG

PG

，代入即可求出DE，由PF∥AC，得到

BP

AB

=

BF

BC

，求出DF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案；
（3）求出∠FPE=30°，①當(dāng)∠FEP=90°時(shí)，由EF∥AB，得出

DE

AD

=

DF

BD

，代入即可求出x；②當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，
由△BPF是等邊三角形，求出∠EFD=30°=∠PGD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DF=DG，代入即可求出x．

解答：（1）解：①BG=2BP，
理由是：∵等邊△ABC，PG⊥AB，
∴∠B=60°，∠BPG=90°，
∴∠BGP=180°-90°-60°=30°，
∴BG=2BP，
答：BG與2BP的大小關(guān)系是BG=2BP．

②解：∵BG=2BP，BD=

1

2

BC=1，
∴DG=2x-1，
∵點(diǎn)G在線段CD上，
∴求G與D、C重合時(shí)x的值即可確定自變量x的取值范圍，
當(dāng)G與D點(diǎn)重合時(shí)，BG=

1

2

BC=1，∴2x-1=0，即x=

1

2

，
當(dāng)G與C點(diǎn)重合時(shí)，DG=1，∴2x-1=1，即x=1，
故x的取值范圍為

1

2

≤x≤1．

（2）解：∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP=

BG2-BP2

=

3

x，
∴∠ADC=∠GPB=90°，
∵∠PGB=∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴

ED

BP

=

DG

PG

，
∴

DE

x

=

2x-1

3 x

，
解得：DE=

2 3

3

x-

3

3

，
∵PF∥AC，
∴

BP

AB

=

BF

BC

，
∴BP=BF=x，
∴DF=1-x，
∴s=

1

2

DE•DF=

1

2

•（

2 3

3

x-

3

3

）•（1-x）=-

3

3

x²+

3

2

x-

3

6

=-

3

3

(x-

3

4

)2+

3

48

，
s的最大值是

3

48

，
答：S與x之間的函數(shù)關(guān)系式是∴s=-

3

3

x²+

3

2

x-

3

6

，并求出S的最大值是

3

48

．

（3）解：相似，
∵∠BGP=30°，∠BPF=60°，
∴∠FPE=30°，
①當(dāng)∠FEP=90°時(shí)，
∴EF∥AB，
∴

DE

AD

=

DF

BD

，
∴

2 3 3 x- 3 3

3

=

1-x

1

，
解得：x=

4

5

，
②當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，
∵△BPF是等邊三角形，
∴∠BFP=60°，
∴∠EFD=30°=∠PGD，
∴EF=EG，
∵AD⊥BC，
∴DF=DG，
即1-x=2x-1，
解得：x=

2

3

，
∴BP的長(zhǎng)是

4

5

或

2

3

，
答：以P、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△EDG相似，BP的長(zhǎng)是

4

5

或

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，二次函數(shù)的最值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題型較好，有一定的難度，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想．