如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)三點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸與拋物線相交于點(diǎn)D、與直線BC相交于點(diǎn)E,連接DE.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)R,使點(diǎn)R、D、B所成三角形和△DEB全等?若存在,求點(diǎn)R的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(3)在拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△PEB的面積是△BDE的面積的一半?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)三點(diǎn),
a-b+c=0
9a+3b+c=0
c=-3
,
解得
a=1
b=-2
c=-3
,
∴拋物線的解析式為y=x2-2x-3;

(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1,頂點(diǎn)D(1,-4),
易求直線BC的解析式為y=x-3,
當(dāng)x=1時(shí),y=1-3=-2,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,-2),
DE=-2-(-4)=-2+4=2,
∵點(diǎn)R、D、B所成三角形和△DEB全等,
∴①BR1DE且BR1=DE時(shí),點(diǎn)R1的坐標(biāo)(3,-2);
②點(diǎn)E、R2關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)時(shí),設(shè)ER2與BD相交于F,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE于G,
由勾股定理得,BD=
42+(3-1)2
=2
5
,
∴FD=DE•cos∠BDE=2×
4
2
5
=
4
5
5
,
FG=FD•sin∠BDE=
4
5
5
×
2
2
5
=
4
5

DG=FD•cos∠BDE=
4
5
5
×
4
2
5
=
8
5

∴點(diǎn)R2的橫坐標(biāo)是1+
4
5
×2=
13
5

縱坐標(biāo)為-2-2×(2-
8
5
)=-
14
5
,
∴R2的坐標(biāo)為(
13
5
,-
14
5
);
③點(diǎn)R1關(guān)于BD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)時(shí)的點(diǎn)R3的坐標(biāo)時(shí),
點(diǎn)R3的橫坐標(biāo)為3-
4
5
×2=
7
5
,
縱坐標(biāo)為-2+2×(2-
8
5
)=-
6
5
,
所以,R3的坐標(biāo)為(
7
5
,-
6
5
);
綜上所述,點(diǎn)R為(3,-2)或(
13
5
,-
14
5
)或(
7
5
,-
6
5
)時(shí),點(diǎn)R、D、B所成三角形和△DEB全等;

(3)∵△PEB的面積是△BDE的面積的一半,
∴點(diǎn)P到DE的距離等于點(diǎn)B到DE的一半,
∵點(diǎn)B到DE的距離為3-1=2,
∴點(diǎn)P到DE的距離為1,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為0或2,
當(dāng)x=0時(shí),y=02-2×0-3=-3,
當(dāng)x=2時(shí),y=22-2×2-3=-3,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-3)或(2,-3).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,己知拋物線y=x2+px+q與x軸交于A、B兩點(diǎn),∠ACB=90°,交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn),點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),且
1
OA
-
1
OB
=
2
OC

(1)求拋物線的解析式,
(2)求△ABC的外接圓面積;
(3)設(shè)拋物線y=x2+px+q的頂點(diǎn)為D,求四邊形ACDB的面積;
(4)在拋物線y=x2+px+q上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積為2
2
?如果有,這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?寫(xiě)出它們的坐標(biāo);如果沒(méi)有,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點(diǎn),點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABPC的面積最大,并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,0),B(0,1),C(2,
9
5
).
(Ⅰ)直線l:y=kx+b過(guò)A、B兩點(diǎn),求k、b的值;
(Ⅱ)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線Q的解析式;
(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中的拋物線Q的對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E,那么在對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)F,使⊙F與直線l和x軸同時(shí)相切?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

當(dāng)行駛中的汽車(chē)撞到物體時(shí),汽車(chē)的損壞程度通常用“撞擊影響”來(lái)衡量.汽車(chē)的撞擊影響I可以用汽車(chē)行駛速度v(km/min)來(lái)表示,下表是某種型號(hào)的汽車(chē)行駛速度與撞擊影響的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):
v(km/min)01234
I0281832
(1)請(qǐng)你以上表中各對(duì)數(shù)據(jù)(v,I)作為點(diǎn)的坐標(biāo),嘗試在右圖所示的坐標(biāo)系中畫(huà)出I關(guān)于v的函數(shù)圖象.
(2)①填寫(xiě)下表:
v(km/min)1234
v2
I
________________________
②根據(jù)所填表中數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的規(guī)律,猜想出用v表示I的二次函數(shù)的關(guān)系式:______.
③若在一次交通事故中,測(cè)得汽車(chē)的撞擊影響I=16.請(qǐng)你計(jì)算此時(shí)汽車(chē)的行駛速度為_(kāi)_____km/min(精確到0.01km/min)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),且AB=8),與y軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,線段OA、OC的長(zhǎng)(OA<OC)是方程x2-14x+48=0的兩個(gè)根.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)連接AC、BC,若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合),過(guò)點(diǎn)E作EFAC交BC于點(diǎn)F,連接CE,設(shè)AE的長(zhǎng)為m,△CEF的面積為S,求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量m的取值范圍;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S是否存在最大值,若存在,請(qǐng)求出S的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo),判斷此時(shí)△BCE的形狀;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

寧波市土地利用現(xiàn)狀通過(guò)國(guó)土資源部驗(yàn)收,我市在節(jié)約集約用地方面已走在全國(guó)前列.1996---2004年,市區(qū)建設(shè)用地總量從33萬(wàn)畝增加到48萬(wàn)畝,相應(yīng)的年GDP從295億元增加到985億.寧波市區(qū)年GDPy(億元)與建設(shè)用地總量x(萬(wàn)畝)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.
(2)據(jù)調(diào)查2005年市區(qū)建設(shè)用地比2004年增加4萬(wàn)畝,如果這些土地按以上函數(shù)關(guān)系式開(kāi)發(fā)使用,那么2005年市區(qū)可以新增GDP多少億元?
(3)按以上函數(shù)關(guān)系式,我市年GDP每增加1億元,需增建設(shè)用地多少萬(wàn)畝?(精確到0.001萬(wàn)畝).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且在x軸的正半軸上截得的線段長(zhǎng)為4,對(duì)稱(chēng)軸為直線x=m.過(guò)點(diǎn)A的直線繞點(diǎn)A(m,0)旋轉(zhuǎn),交拋物線于點(diǎn)B(x,y),交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸的直線與直線x=m交于點(diǎn)D,設(shè)△AOB的面積為S1,△ABD的面積為S2
(1)求這條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)判斷S1與S2的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,A、B在x軸上,A(-1,0),C(0,-2),B在x軸正半軸上,求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線,并求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo).

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