Question

如圖：已知△ABC是等邊三角形，D、E、F分別是AB、AC、BC邊的中點(diǎn)，M是直線BC上的任意一點(diǎn)，在射線EF上截取EN，使EN=FM，連接DM、MN、DN．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你按已知要求補(bǔ)全圖形，并判斷△DMN是怎樣的特殊三角形（不要求證明）；
（2）請(qǐng)借助圖②解答：當(dāng)點(diǎn)M在線段BF上（與點(diǎn)B、F不重合），其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）請(qǐng)借助圖③解答：當(dāng)點(diǎn)M在射線FC上（與點(diǎn)F不重合），其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？不要求證明．

Answer 1

分析：（1）連接DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=120°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MD=DN，對(duì)應(yīng)角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形；
（2）連接DF，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與三角形中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)可以證明DF=BD=EF=BF，然后證明BM=FN，∠MBD=∠NFD=60°，從而證明△BDM與△FDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MD=DN，對(duì)應(yīng)角相等可得∠MDB=∠NDF，然后證明∠MDN=∠BDF=60°，所以△DMN是等邊三角形；
（3）沿用前兩問的思路，顯然不能證明△CDM與△FDN全等，所以△DMN不是等邊三角形．

解答：解：（1）如圖①，
△DMN是等邊三角形．

（2）如圖②，當(dāng)M在線段BF上（與點(diǎn)B、F重合）時(shí)，△DMN仍是等邊三角形．
證明：連接DF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，AB=AC=BC．
∵D、E、F分別是△ABC三邊的中點(diǎn)，
∴DE、DF、EF是等邊三角形的中位線．
∴DF=

1

2

AC，BD=

1

2

AB，EF=

1

2

AB，BF=

1

2

BC．
∴∠BDF=∠A=∠DFE=60°，DF=BF=EF，
∴∠ABC=∠DFE，
∵FM=EN，
∴BM=NF，
∴△BDM≌△FDN，
∴∠BDM=∠FDN，MD=ND，
∴∠BDM+∠MDF=∠FDN+∠MDF=∠MDN=60°，
△DMN是等邊三角形；

（3）如圖③或圖④，當(dāng)點(diǎn)M在射線FC上（與點(diǎn)F不重合）時(shí)，（1）中的結(jié)論不成立，
即△DMN不是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的三條邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，以及有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形的判定方法，這種題目的求解思路一般都是每一小題的條件變化，各小題的求解思路相同，難度不大，但靈活性較高，希望同學(xué)們能夠熟練掌握，多出現(xiàn)為中考?jí)狠S題．