如圖,⊙M與y軸的正半軸相切于點C,與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點,且x2>x1>0,拋物線y=
1
2
(x2-5x+2m)經(jīng)過A、B、C三點.
(1)求m的值;
(2)求sin∠AMB的值;
(3)在圖中的曲線上是否存在點P,使以P、A、C為頂點的三角形與△COA相似?若存在,求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
(1)如圖:過點M作MD⊥AB于點D,
當x=0時,y=m,∴C(0,m)
當y=0時,有
1
2
x2-
5
2
x+m=0
∴x1+x2=5,x1x2=2m,
AD=
1
2
AB=
1
2
(x2-x1)=
1
2
(x2+x1)2-4x1x2

=
1
2
25-8m

∵⊙M與y軸相切于點C,
∵AB=0B-OA=x2-x1,
∴OD=AD+OA=
1
2
AB+OA=
x2-x1
2
+x1=
1
2
(x1+x2),
∴CM=AM=OD=
1
2
(x1+x2)=
5
2

DM=OC=m,
在直角三角形AMD中,
AM2=AD2+MD2,
即:
25
4
=
25-8m
4
+m2,
解得:m1=0,m2=2.
∵m>0,
∴m=2.

(2)∵m=2,
∴y=
1
2
x2-
5
2
x+2
∴C(0,2)
當y=0時,
1
2
x2-
5
2
x+2=0
解得:x1=1,x2=4,
∴A(1,0),B(4,0),
∴AB=3,AD=
3
2
,AM=
5
2
,MD=2
∵S△ABM=
1
2
AB•MD=
1
2
AM•BM•sin∠AMB,
1
2
×3×2=
1
2
×
5
2
×
5
2
×sin∠AMB,
∴sin∠AMB=
24
25


(3)如圖:
分別過點A,C作AC的垂線交拋物線于P1和P2,
∵A(1,0),C(0,2),AC=
5

∴AC:y=-2x+2
AP1:y=
1
2
x-
1
2
,
AP2:y=
1
2
x+2,
y=
1
2
x-
1
2
y=
1
2
x2-
5
2
x+2
得:p1(5,2),AP1=2
5
,
AC
AP1
=
5
2
5
=
1
2
=
OA
OC

∴△P1AC△COA.
y=
1
2
x+2
y=
1
2
x2-
5
2
x+2
得:P2(6,5),CP2=3
5
,
AC
CP2
=
5
3
5
=
1
3
1
2
,
∴△P2AC與△AOC不相似.
因此,存在點P(5,2).
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖1,已知矩形ABCD的頂點A與點O重合,AD、AB分別在x軸、y軸上,且AD=2,AB=3;拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E(4,0)
(1)當x取何值時,該拋物線取最大值?該拋物線的最大值是多少?
(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動,同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動.設它們運動的時間為t秒(0≤t≤3),直線AB與該拋物線的交點為N(如圖2所示).
①當t=
11
4
時,判斷點P是否在直線ME上,并說明理由;
②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5?若有可能,求出此時N點的坐標;若無可能,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

在Rt△ABC中,∠A=90°,tanB=
3
4
,點P在線段AB上運動,點Q、R分別在線段BC,AC上,且使得四邊形APQR是矩形.設AP的長是x,矩形APQR面積為y,已知y是x的函數(shù),其圖象是過點(12,36)的拋物線上的一部分.
(1)求AB的長;
(2)當AP為何值時,矩形APQR的面積最大,并求出最大值.

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圖中是拋物線形拱橋,當水面寬為4米時,拱頂距離水面2米;當水面高度下降1米時,水面寬度為多少米?

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如圖,一次函數(shù)y=x+k圖象過點A(1,0),交y軸于點B,C為y軸負半軸上一點,且OB=
1
2
BC,過A,C兩點的拋物線交直線AB于點D,且CDx軸.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)直接寫出使一次函數(shù)值小于二次函數(shù)值時x的取值范圍.

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如圖,矩形ABCD的長、寬分別為3和2,OB=2,點E的坐標為(3,4)連接AE、ED.
(1)求經(jīng)過A、E、D三點的拋物線的解析式.
(2)以原點為位似中心,將五邊形ABCDE放大.
①若放大后的五邊形的邊長是原五邊形對應邊長的2倍,請在網(wǎng)格中畫出放大后的五邊形A2B2C2D2E2,并直接寫出經(jīng)過A2、D2、E2三點的拋物線的解析式:______;
②若放大后的五邊形的邊長是原五邊形對應邊長的k倍,請你直接寫出經(jīng)過Ak、Dk、Ek三點的拋物線的解析式:______(用含k的字母表示).

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如圖,用長20m的籬笆,一面靠墻圍成一個長方形的園子,怎么圍才能使園子的面積最大?最大面積是多少?

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已知直線y=-x+4分別交x軸、y軸于點A、C,過A、C兩點的拋物線y=ax2-2ax+c交x軸于另一點B.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若動點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度沿線段BA方向運動,同時動直線l從x軸出發(fā),以每秒1個單位長度沿y軸方向平行移動,直線l交AC與D,交BC于E,當點Q運動到點A時,兩者都停止運動.設運動時間為t秒,△QED的面積為S.
①求S與t的函數(shù)關系式:并探究:當t為何值時,S有最大值為多少?
②在點Q及直線l的運動過程中,是否存在△QED為直角三角形?若存在,請求t的值;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

某公司準備投資開發(fā)A、B兩種新產(chǎn)品,通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):
(1)若單獨投資A種產(chǎn)品,則所獲利潤yA(萬元)與投資金額x(萬元)之間滿足正比例函數(shù)關系:yA=kx;
(2)若單獨投資B種產(chǎn)品,則所獲利潤yB(萬元)與投資金額x(萬元)之間滿足二次函數(shù)關系:yB=ax2+bx.
(3)根據(jù)公司信息部的報告,yA,yB(萬元)與投資金額x(萬元)的部分對應值如下表所示:
x15
yA0.84
yB3.815
(1)填空:yA=______;yB=______;
(2)若公司準備投資20萬元同時開發(fā)A、B兩種新產(chǎn)品,設公司所獲得的總利潤為W(萬元),試寫出W與某種產(chǎn)品的投資金額x(萬元)之間的函數(shù)關系式;
(3)請你設計一個在(2)中能獲得最大利潤的投資方案,并求出按此方案能獲得的最大利潤是多少萬元?

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