Question

7．在一次數(shù)學(xué)課上，李老師出示一道題目：

如圖，在△ABC中，AC=BC，AD=BD，∠A=30°，在線段AB上求作兩點P，Q，使AP=CP=CQ=BQ．

明明作法：分別作∠ACD和∠BCD的平分線，交AB于點P，Q．點P，Q就是所求作的點．
曉曉作法：分別作AC和BC的垂直平分線，交AB于點P，Q．點P，Q就是所求作的點．
你認(rèn)為明明和曉曉作法正確的是（　�。�

• A． 明明
• B． 曉曉
• C． 兩人都正確
• D． 兩人都錯誤

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠A=30°，CD⊥AB，由三角形的內(nèi)角和得到∠ACD=∠BCD=60°，
明明作法：如圖1，根據(jù)角平分線的定義得到∠ACP=∠BCQ=30°，求得∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，由等腰三角形的判定得到AP=PC，BQ=CQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BQ，于是得到AP=CP=CQ=BQ；故明明作法正確；
曉曉作法：如圖2，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=PC，BQ=CQ，推出△APC≌△BCQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=BQ，求得AP=CP=CQ=BQ，于是得到曉曉作法正確．

解答 解：∵AC=BC，AD=BD，
∴∠B=∠A=30°，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠BCD=60°，
明明作法：如圖1，
∵CP平分∠ACD，CQ平分∠BCD，
∴∠ACP=∠BCQ=30°，
∴∠A=∠ACP，∠B=∠BCQ，
∴AP=PC，BQ=CQ，
在△ACP與△BCQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCQ=30°}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴AP=CP=CQ=BQ；
∴明明作法正確；
曉曉作法：如圖2，
∵分別作AC和BC的垂直平分線，交AB于點P，Q，
∴AP=PC，BQ=CQ，在△ACP與△BCQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCQ=30°}\end{array}\right.$，
∴△APC≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴AP=CP=CQ=BQ，
∴曉曉作法正確，
故選C．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確的畫出圖形是解題的關(guān)鍵．