Question

6．已知二次函數(shù)y=x²-4x+3，設(shè)該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，拋物線頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P是x軸上的點(diǎn)，且滿足PC+PD最短．
（1）分別求C、D、P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)E時(shí)拋物線上的 點(diǎn)，且△PDE是以PD為底邊的等腰三角形，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫出你找到的點(diǎn)E示意圖．并用文字簡(jiǎn)要說明點(diǎn)E的具體位置．（不必求出點(diǎn)E坐標(biāo)）
（3）設(shè)點(diǎn)Q時(shí)拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)△PQC是以線段CP為直角邊的Rt△時(shí)，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)配方法，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得CD的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線短兩端點(diǎn)的距離相等，可得E點(diǎn)的位置；
（3）根據(jù)勾股定理，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答 解：（1）如圖1，
連接CD交x軸于P點(diǎn)，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
配方，得y=（x-2）²-1，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），
設(shè)CD的解析式為y=kx+b，將C、D點(diǎn)坐標(biāo)代入，的
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$，
CD的解析此時(shí)為y=-2x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=$\frac{3}{2}$，即P（$\frac{3}{2}$，0）；
（2）如圖2，
作PD的垂直平分線交拋物線E₁，E₂，△PDE₁，△PDE₂是以PD為底邊的等腰三角形；
（3）如圖3，
Q在拋物線上，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m²-4m+3）．
由勾股定理，得
CP²=（$\frac{3}{2}$）²+3²=$\frac{45}{4}$，PQ²=（m-$\frac{3}{2}$）²+（m²-4m+3）²，CQ²=m²+（m²-4m+3-3）²．
由∠CPQ=90°，得
CP²+PQ²=CQ²，即$\frac{45}{4}$+（m-$\frac{3}{2}$）²+（m²-4m+3）²=m²+（m²-4m+3-3）²．
化簡(jiǎn)，得
8m²-36m+30=0．
解得m₁=$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，m₂=$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，
當(dāng)m₁=$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$時(shí)，m²-4m+3=$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$，即Q₁（$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$）；
當(dāng)=$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$時(shí)，m²-4m+3=$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$，即Q₂（$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$）；
綜上所述：當(dāng)△PQC是以線段CP為直角邊的Rt△時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)（$\frac{9+\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3+\sqrt{21}}{8}$）；（$\frac{9-\sqrt{21}}{4}$，$\frac{3-\sqrt{21}}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo)；利用線段垂直平分的性質(zhì)得出PD垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)是解題關(guān)鍵；利用勾股定理得出關(guān)于關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．