Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，將紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，有列結(jié)論：①AF=AE  ②EF=2$\sqrt{5}$③AF=EF④S_△AEF=10，其中正確的結(jié)論有①②④．（填序號）

Answer 1

分析 設(shè)BE=x，表示出CE=8-x，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠AEF=∠CEF，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根據(jù)等角對等邊可得AE=AF，過點E作EH⊥AD于H，可得四邊形ABEH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 解：設(shè)BE=x，則CE=BC-BE=8-x，
∵沿EF翻折后點C與點A重合，
∴AE=CE=8-x，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
即4²+x²=（8-x）²
解得x=3，
∴AE=8-3=5，
由翻折的性質(zhì)得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的對邊AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
∴①正確；
在Rt△ABE和Rt△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AG=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGF（HL），
∴B正確；
過點E作EH⊥AD于H，則四邊形ABEH是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF-AH=5-3=2，
在Rt△EFH中，EF=2$\sqrt{5}$，
∴②正確；
∵△AEF不是等邊三角形，
∴EF≠AF，
故③錯誤；
△AEF中，AF=5，則S△AEF=$\frac{1}{2}$×5×4=10．
故④正確．
故答案是：①②④．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作利用勾股定理列方程求出BE的長度是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．