Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，

9

2

）．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）如圖①，設該拋物線的對稱軸與x軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；
（3）如圖②，連結AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連結CE，記△CEF的面積為S，求出S的最大值及此時E點的坐標．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的頂點代入到拋物線的頂點式中得到y(tǒng)=a （ x-1）²+

9

2

，然后將與y軸交于點C代入到上式中即可求得函數的解析式；
（2）利用等腰三角形的性質分別得出P點的坐標；
（3）求得拋物線與x軸的交點坐標，然后過點F作FM⊥OB于點M，利用△BEF∽△BAC即可得到函數關系式S=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

，配方后即可求得最大值，從而求得E點的坐標．

解答：解：（1）因為拋物線的頂點為（1，

9

2

），
所以設拋物線的函數關系式為y=a （ x-1）²+

9

2

，
∵拋物線與y軸交于點C（0，4），
∴a（0-1）²+

9

2

=4．   
解得：a=-

1

2

．
∴所求拋物線的函數關系式為y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

．

（2）如圖①，過點C作CE⊥對稱軸于點E，
當CD=CP₁時，∵點C（0，4），頂點為（1，

9

2

），
∴CD=

42+12

=

17

，DE=4，
∴CP₁=

17

，EP₁=4，
∴P₁的坐標為：（1，8），
當CD=DP₂時，P₂的坐標為：（1，

17

），
當CP₃=DP₃時，
設CP₃=DP₃=y，
∴CE²+EP

2 3

=CP

2 3

，
∴1+（4-y）²=y²，
解得：y=

17

8

，
∴P₃的坐標為：（1，

17

8

），
當CD=CP₄時，
P₄的坐標為：（1，-

17

），
綜上所述：符合條件的所有P點坐標是：
（1，

17

），（1，-

17

），（1，8），（1，

17

8

）；

（3）令-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，．
∴拋物線y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

與x軸的交點為A（-2，0），B（4，0）．
過點F作FM⊥OB于點M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．

MF

CO

=

EB

AB

．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=

BE

AB

×CO=

2

3

EB．
設E點坐標（x，0），則EB=4-x．MF=

2

3

（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=

1

2

EB•CO-

1

2

EB•MF，
=

1

2

EB（OC-MF）=

1

2

（4-x）[4-

2

3

（4-x）]
=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=-

1

3

（x-1）²+3．
Qa=-

1

3

＜0，
∴S有最大值．
當x=1時，S_最大值=3．   
此時點E的坐標為（1，0）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．