Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點(diǎn)為D，CD與AB的延長線相交于點(diǎn)E，∠ADC=60°．
（1）求證：△ADE是等腰三角形；
（2）若AD=2，求BE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，
∴OD⊥CD，即∠ODC=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠ODA=30°，
在⊙O中OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=30°，
∴∠E=∠ADC-∠EAD=60°-30°=30°=∠EAD，
∴DA=DE，
即△ADE是等腰三角形．

（2）解：由（1）知，DE=DA=，
在Rt△ODE中，，
OE=2OD=4，
∴BE=OE-OB=OE-OD=4-2=2，
答：BE的長是2．
分析：（1）連接OD，根據(jù)CD是⊙O的切線，推出∠ODC=90°，求出∠OAD=∠ODA=30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠E=∠A，即可得出答案；
（2）由（1）知，DE=DA=，根據(jù)三角函數(shù)的定義求出OD，進(jìn)一步求出OE，即可得到答案．
點(diǎn)評：本題主要考查對等腰三角形的判定，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，求出DA=DE是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．