Question

（2013•石景山區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以AC為邊向右側(cè)作等邊三角形ACD．
（1）如圖1，將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AB₁，聯(lián)結(jié)DB₁，則與DB₁長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段為

BC

 （直接寫(xiě)出結(jié)論）；
（2）如圖2，若P是線(xiàn)段BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q，求∠ADQ的度數(shù)；
（3）畫(huà)圖并探究：若P是直線(xiàn)BC上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)P繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、Q、D、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并求出PC的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，DB₁長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段為BC；
（2）首先根據(jù)全等三角形的判定方法得出△PAC≌△QAD，進(jìn)而得出∠ADQ的度數(shù)；
（3）分別利用當(dāng)AD∥CQ時(shí)，當(dāng)AQ∥CD時(shí)，利用梯形的性質(zhì)分別求出即可．

解答：解：（1）將線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線(xiàn)段AB₁，聯(lián)結(jié)DB₁，則與DB₁長(zhǎng)度相等的線(xiàn)段為BC；
故答案為：BC；

（2）由作圖知AP=AQ，∠PAQ=60°
∵△ACD是等邊三角形．
∴AC=AD，∠CAD=60°=∠PAQ，
∴∠PAC=∠QAD，
在△PAC和△QAD中

AP=AQ ∠PAC=∠QAD AC=AD

，
∴△PAC≌△QAD（SAS），
∴∠ADQ=∠ACP=90°；

（3）如圖3，同①可證△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
當(dāng)AD∥CQ時(shí)，∠CQD=180°-∠ADQ=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠QDC=30°，
∵CD=AC=2，
∴CQ=1，DQ=

3

，
∴PC=DQ=

3

且CQ≠AD，
∴此時(shí)四邊形ACQD是梯形．
如圖4，同理可證△PAC≌△QAD，∠ADQ=∠ACP=90°，
當(dāng)AQ∥CD時(shí)，∠QAD=∠ADC=60°，∠AQD=30°，
∵AD=AC=2，
∴AQ=4，DQ=2

3

，
∴PC=DQ=2

3

，
此時(shí)DQ與AC不平行，四邊形ACDQ是梯形．
綜上所述，這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別在C點(diǎn)兩側(cè)，
當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)時(shí)，PC=

3

；當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，PC=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和梯形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．