Question

如圖邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上．動點D在線段BC上移動（不與B、C重合），連接OD，過點D作DE⊥OD，交邊AB于點E，記CD的長為t．
（1）點D在運動到某一位置時，能否看作是點A關于直線OE對稱的對稱點，為什么？
（2）用t的代數式表示BE的長？
（3）當t=時，求直線DE的函數表達式．

Answer 1

解：（1）點D在運動到某一位置時，不能看作是點A關于直線OE對稱的對稱點．理由如下：
假設點D是點A關于直線OE對稱的對稱點，那么△ODE≌△OAE，
∴OD=OA=1，
而在直角△OCD中，OC=1，
∴OC=OD，
又∵動點D在線段BC上移動，不與C重合，
∴這與直角三角形中斜邊最長相矛盾，
故點D不能看作是點A關于直線OE對稱的對稱點；

（2）如圖，∵四邊形OABC是正方形，且DE⊥OD，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3．
又∵∠OCD=∠B=90°，
∴△OCD∽△DBE，
∴．
又∵CD=t，CO=1，BD=BC-CD=1-t，
∴=，
∴BE=-t²+t；

（3）當t=時，BE=-t²+t=，
∴AE=AB-BE=1-=，
∴點E的坐標為（1，）．
設直線DE的解析式為y=kx+b，
又∵點D的坐標為（，1），
∴，
解得
直線DE的解析式為y=-x+．
分析：（1）如果點D看作是點A關于直線OE對稱的對稱點，那么根據軸對稱的性質得出OD=OA=1，而在直角△OCD中，OC=1，與直角三角形中斜邊最長相矛盾，故點D不能看作是點A關于直線OE對稱的對稱點；
（2）根據兩角對應相等，兩三角形相似，證明出△OCD∽△DBE，由相似三角形的對應邊成比例列出比例式，從而可用含t的代數式表示BE的長；
（3）把t=代入（2），求出BE的長，即可求得點E的坐標為（1，），又由點D的坐標為（，1），由待定系數法即可求得直線DE的解析式．
點評：本題考查了正方形、軸對稱的性質，一次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質等知識點．本題中用相似三角形的性質得出比例關系，然后用線段的比例關系和CD表示出BE是解題的關鍵．