Question

【題目】如圖，過(guò)銳角△ABC的頂點(diǎn)A作DE∥BC，AB恰好平分∠DAC，AF平分∠EAC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．在AF上取點(diǎn)M，使得AM= AF，連接CM并延長(zhǎng)交直線DE于點(diǎn)H．若AC=2，△AMH的面積是 ，則 的值是 ．

Answer 1

【答案】8﹣
【解析】解：過(guò)點(diǎn)H作HG⊥AC于點(diǎn)G， ∵AF平分∠CAE，DE∥BF，
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF，
∴AC=CF=2，
∵AM= AF，
∴ = ，
∵DE∥CF，
∴△AHM∽△FCM，
∴ = ，
∴AH=1，
設(shè)△AHM中，AH邊上的高為m，
△FCM中CF邊上的高為n，
∴ = = ，
∵△AMH的面積為： ，
∴ = AHm
∴m= ，
∴n= ，
設(shè)△AHC的面積為S，
∴ = =3，
∴S=3S△AHM= ，
∴ ACHG= ，
∴HG= ，
∴由勾股定理可知：AG= ，
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴ = =8﹣
所以答案是：8﹣

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題．