Question

如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為矩形，點A、B的坐標分別為（6，1）、（6，3），C、D在y軸上，點M從點A出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿AD向終點D運動，點N從點C同時出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿CB向終點B運動，當一個點到達終點時，另一個點也同時停止運動．過點M作MP⊥AD，交BD于點P，連接NP，兩動點同時運動了t秒．
（1）當t=1時，求P點的坐標；
（2）當運動了t秒時，△NPB的面積S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）當S取最大值時，將矩形ABCD向上平移1個單位（如圖2），此時，若點Q在x軸上，且△QBM是以MB為腰的等腰三角形時，求Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）當t=1時，AM=3×1=3，得到M點為AD的中點，則P點為DB的中點，即可得到P點坐標為（3，2）；
（2）延長MP交BC于H，由AM=3t，CN=t，得到BN=6-t，BH=3t，利用△BHP∽△BCD，通過相似比可求出PH=t，根據(jù)三角形的面積公式表示出S=-

1

2

（t-3）²+

9

2

（0≤t≤2），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當t=2時，S最大，最大值為4；
（3）根據(jù)題意得到點M與D點重合，D點坐標為（0，2），B點坐標為（6，4），A點坐標為（6，2），由勾股定理得到BM=

62+22

=2

10

，△QBM是以MB為腰的等腰三角形時，討論：MB=MQ；BM=BQ．延長BA交x軸于G點，連DG，則△MGB為等腰直角三角形，Q點在G點，即Q點的坐標為（6，0）；再利用勾股定理可求出Q′G，從而得到OQ′，即可得到Q′的坐標．

解答：解：（1）當t=1時，AM=3×1=3，
∴M點為AD的中點，
∵MP⊥AD，
∴P點為DB的中點，
而A點坐標為（6，1），四邊形ABCD為矩形，
∴D點坐標為（0，1），
又∵B點坐標為（6，3），
∴P點坐標為（3，2）；

（2）延長MP交BC于H，如圖，
∵AM=3t，CN=t，
∴BN=6-t，BH=3t，
又∵PH∥CD，
∴△BHP∽△BCD，
∴

HP

DC

=

BH

BC

，即

3t

6

=

PH

2

，
∴PH=t，
∴S=

1

2

•t（6-t）
=-

1

2

（t-3）²+

9

2

（0≤t≤2）
∴當t=2時，S最大，最大值為4；

（3）當S取最大值時，將矩形ABCD向上平移1個單位，
∴點M與D點重合，D點坐標為（0，2），B點坐標為（6，4），A點坐標為（6，2），
∴BM=

62+22

=2

10

，
延長BA交x軸于G點，連DG，如圖，
∵AB=AG=2，即MA垂直平分BG，
∴△MGB為等腰直角三角形，
∴Q點在G點，即Q點的坐標為（6，0）；
當BQ′=BM，
∴Q′G=

(2 10 )2-42

=2

6

，
∴OQ′=6-2

6

或6+2

6

∴Q′的坐標為（6-2

6

，0）或（6+2

6

，0）
∴Q點的坐標為（6，0）或（6-2

6

，0）或（6+2

6

，0）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的頂點式：y=a（x-h）²+k，當a＜0，x=h，y的最大值為k；當x＜h，y隨x的增大而增大．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、勾股定理以及分類討論思想的運用．