Question

一次函數(shù)y=x+b與反比例函數(shù)y=圖象的交點(diǎn)為A（m，n），且m，n（m＜n）是關(guān)于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中k為非負(fù)整數(shù)，m，n為常數(shù)．
（1）求k的值；
（2）求A的坐標(biāo)與一次函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）由關(guān)于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得：
△=（2k-7）²-4k（k+3）
=-40k+49＞0
∴k＜
又∵k為非負(fù)整數(shù)，∴k=0，1
∵當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+（2k-7）x+k+3=0不是一元二次方程，與題設(shè)矛盾
∴k=1．

（2）當(dāng)k=1時(shí)，有方程x²-5x+4=0
∴x₁=1x₂=4
∵m，n（m＜n）是方程x²-5x+4=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴m=1，n=4即A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，4）
把A（1，4）坐標(biāo)代入y=x+b得b=3
∴所求函數(shù)解析式為y=x+3．
分析：（1）因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，其中k為非負(fù)整數(shù)，利用△=（2k-7）²-4k（k+3）=-40k+49＞0即可求得k＜，又因k為非負(fù)整數(shù)，則有k=0，1，又因當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+（2k-7）x+k+3=0不是一元二次方程，與題設(shè)矛盾，所以k=1．
（2）因?yàn)閙，n（m＜n）是關(guān)于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，而k=1，解一元二次方程就可求得m=1，n=4，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，利用方程求出b=3，最終解決問(wèn)題．
點(diǎn)評(píng)：解決本類(lèi)題目需靈活運(yùn)用一元二次方程的根的判別式求出字母的取值，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可解決問(wèn)題．