Question

如圖，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過(guò)D點(diǎn)的直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C．
（1）若∠A=25°，∠C=40°，求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
（2）若CD是⊙O的切線(xiàn)，AB=14，BC：DC=3：4，求OC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定與性質(zhì),勾股定理,圓周角定理

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DOC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ODC=90°即可；
（2）設(shè)AC=4x，F(xiàn)C=3x，由切割線(xiàn)定理得到（4x）²=3x（3x+14），求出方程的解即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO=25°，
∴∠DOC=25°+25°=50°，
∴∠ODC=180°-∠C-∠DOC=90°，
∴OD⊥DC，
∴CD是⊙O的切線(xiàn)．

（3）解：設(shè)DC=4x，BC=3x，
由切割線(xiàn)定理得：（4x）²=3x（3x+14），
解得x=6，
故OC=3x+7=25，
答：OC的長(zhǎng)是25．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．