Question

求代數(shù)式

x2+2x+2

+

x2-4x+13

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：用一般求最值的方法很難求出此代數(shù)式的最小值．

x2+2x+2

+

x2-4x+13

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，于是問題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)C（x，0），使它到兩點(diǎn)A（-1，1）和B（2，3）的距離和（CA+CB）最小，利用對(duì)稱性可求出C點(diǎn)坐標(biāo)．這樣，通過構(gòu)造圖形而使問題獲解．

解答：解：原式可化為：

x2+2x+2

+

x2-4x+13

=

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

，
作出B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，-3），連接AB′交x軸于點(diǎn)C，則AB′=AC+CB′為所要求的最小值．
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），過AB′兩點(diǎn)的直線為y=kx+b（k≠0），
則

1=-k+b -3=2k+b

，
解得k=-

4

3

，b=-

1

3

，
故此一次函數(shù)的解析式為y=-

4

3

x-

1

3

，把C（x，0）代入得-

4

3

x-

1

3

=0，x=-

1

4

，
代入

(x+1)2+(0-1)2

+

(x-2)2+(0-3)2

=

(1- 1 4 )2+(0-1)2

+

(- 1 4 -2)2+(0-3)2

=

5

4

+

15

4

=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短線路問題，把求代數(shù)式的最小值轉(zhuǎn)化為最短線路問題，利用數(shù)形結(jié)合解答是解答此類問題的關(guān)鍵．