Question

邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E是AB中點(diǎn)，連CE，過(guò)B作BF⊥CE交AC于F，求AF．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：延長(zhǎng)BF交AD于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABG=∠BCE，可證△ABG≌△BCE，所以AG=BE，利用AG∥BC，可知FA：CF=AG：BC=1：2，所以FA=

1

3

AC，然后根據(jù)正方形的面積求得其邊長(zhǎng)，再求出對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)后即可求得AF的長(zhǎng)．

解答：證明：延長(zhǎng)BF交AD于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠ABG+∠CBG=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+BCE=90°，
∴∠ABG=∠BCE，
∴△ABG≌△BCE，
∴AG=BE，
∵BE=

1

2

AB，
∴AG=

1

2

AB=

1

2

BC，
∴AG：BC=1：2，
∵AD∥BC，
∴FA：CF=AG：BC=1：2，
∴FA=

1

3

AC．
∵正方形的面積為1，
∴正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴對(duì)角線(xiàn)AC=

2

∴AF=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定以及相似三角形中成比例線(xiàn)段的運(yùn)用．根據(jù)正方形的性質(zhì)找到相等的邊和角來(lái)證明三角形全等，并利用相似比求線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．