Question

26、如圖1，以△ABC的邊AB、AC為邊向內(nèi)作正方形ABFG和正方形ACDE，M是DF的中點，N是BC的中點，連接MN．探究線段MN與BC之間的關(guān)系，并加以證明．
說明：如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，可以從下面①、②中選取一種情況完成你的證明，選�、俦仍�題少得6分，選�、诒仍�題少得8分．
①如圖2，將正方形ACDE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點C、E分別落在AG、AB上；
②如圖3，將正方形ACDE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點B、A、C在一條直線．

Answer 1

分析：延長CM至H，使CM=MH，連接FH、BH、CM、BM，延長CD，與BF相交于I，根據(jù)MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，可以證明∠BAC=∠HFB，即可證明△ABC≌△FBH，于是證明得∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，故知BC⊥BH，又因為N是BC中點，M是HC中點，可得MN‖BH，于是證明出BC⊥MN．

解答：證明：延長CM至H，使CM=MH，連接FH、BH、CM、BM，延長CD，與BF相交于I，
∵MF=MD，CM=HM，∠CMD=∠HMF，
∴△CMD≌△HMF，
∴AC=HF=CD，
∴∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF，
∴∠HGF=∠IGC，∠GHF=∠DCM，
∠BIC=∠IGC+∠DCM，
∵∠BAC=360°-∠ABI-∠ACI-∠BIC=180°-∠BIC=180°-∠IGC-∠DCM=180°-∠GHF-∠HGF=∠HFB，
∴△ABC≌△FBH，
∵四邊形ABIC中∠ABI=∠ACI=90°，
∴∠HBF=∠ABC，
∵∠CBH=∠HBF+∠CBF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BC⊥BH，
∵N是BC中點，M是HC中點，
∴MN∥BH，
∴BC⊥MN．

點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)和全等三角的判定與性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，此題比較麻煩．