Question

 已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．

（1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖①），求證：AE=CG；

（2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延長線于點M（如圖②），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

解：⑴因為直線BF垂直于CE于點F,所以∠CFB=90°，

所以∠ECB+∠CBF=90°.

又因為∠ACE +∠ECB=90°，所以∠ACE =∠CBF .

因為AC=BC, ∠ACB=90°，所以∠A=∠CBA=45°.

又因為點D是AB的中點，所以∠DCB=45°.

因為∠ACE =∠CBF，∠DCB=∠A，AC=BC，

所以△CAE≌△BCG，所以AE=CG.

(2)BE=CM,證明：∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACH +∠BCF=90°.

∵ CH⊥AM，即∠CHA=90°,

∴ ∠ACH +∠CAH=90°,∴ ∠BCF=∠CAH.

∵ CD為等腰直角三角形斜邊上的中線,∴ CD=AD.∴ ∠ACD=45°.

△CAM與△BCE中,BC=CA ,∠BCF=∠CAH,∠CBE=∠ACM,

∴ △CAM ≌△BCE,∴ BE=CM.