Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若動點P從A點出發(fā)，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點運(yùn)動；動點Q從C點出發(fā)以每秒5cm的速度沿CB向B點運(yùn)動．當(dāng)Q點到達(dá)B點時，動點P、Q同時停止運(yùn)動．設(shè)點P、Q同時出發(fā)，并運(yùn)動了t秒，
（1）直角梯形ABCD的面積為

 

cm²；
（2）當(dāng)t=

 

秒時，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（3）當(dāng)t=

 

秒時，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P點在線段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作DM⊥BC于點M，在直角△CDM中，根據(jù)勾股定理即可求得CM，得到下底邊的長，根據(jù)梯形面積公式即可求解．
（2）當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD成為平行四邊形．
（3）在直角△ABQ中利用勾股定理即可求解．
（4）連接QD，根據(jù)S_△DQC=S_△DQC，即可求解．

解答：解：（1）作DM⊥BC于點M．則四邊形ABMD是平行四邊形
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM=

CD2-DM2

=8cm
∴BC=BM+CM=4+8=12cm
∴直角梯形ABCD的面積為

1

2

（AD+BC）•AB=48cm²；

（2）當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD成為平行四邊形
即4-4t=5t
解得t=

4

9

；

（3）BQ=12-5t
在直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ²
即6²+（12-5t）²=10²
解得t=

4

5

；

（4）存在，t=

7

4

．
連接QD，則CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，則2S_△DQC=CQ×AB=CD×QP
得QP=3t
在Rt△QPC中
QP²+PC²=CQ²，即（3t）²+（14-4t）²=（5t）²
解之得t=

7

4

求得BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t=

35

4

＜12
所以，存在t，使得P點在線段DC上，且PQ⊥DC．

點評：本題綜合考查了平行四邊形的判定方法，梯形的計算，梯形問題一般通過作高線轉(zhuǎn)化為三角形與平行四邊形的問題．