Question

如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，點(diǎn)M是菱形對(duì)角線DB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，把△AMB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n度后恰好與△ACD重合．
（1）請(qǐng)直接寫出n的值；
（2）若AD=1，試求點(diǎn)M在上述旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）∵把△AMB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與△ACD重合，可知旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，AB，AC為對(duì)應(yīng)邊，∠BAD就是旋轉(zhuǎn)角，即n=60；
（2）點(diǎn)M的旋轉(zhuǎn)路徑是以A為圓心，AM為半徑，60°的圓弧，AM=AC，計(jì)算菱形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)，用弧長(zhǎng)公式求解．

解答：解：（1）∵把△AMB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與△ACD重合，
可知旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A，
AB，AC為對(duì)應(yīng)邊，∠BAD就是旋轉(zhuǎn)角，
即n=60；

（2）∵四邊形ABCD是菱形
∴AC平分∠BAD，AC⊥BD
∴∠1=

1

2

×60°=30°，∠2=90°-∠1=60°
由（1）得：∠MAC=60°
∴∠MAD=90°
在Rt△AMD中，AD=1，tan∠2=

AM

AD

即tan60°=

AM

1

∴AM=

3

∴l(xiāng)_弧MC=

60•π• 3

180

=

3 π

3

．
即點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)為

3 π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了找旋轉(zhuǎn)圖形的對(duì)應(yīng)邊，旋轉(zhuǎn)角的方法，應(yīng)明確點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心所走路徑是圓�。�