Question

如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AC上一點，延長BC到E，使得CE=CD．
求證：BD⊥AE．

Answer 1

證明：
延長BD交AE于M，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=180°-∠ACB=180°-90°=90°，
∴∠DCB=∠ACE，
在△ACE和△BCD中
∵，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∵∠ADM=∠BDC，
∴∠CAE+∠ADM=90°，
∴∠AMD=180°-90°=90°，
∴BM⊥AE，
即BD⊥AE
分析：延長BD交AE于M，證△ACE≌△BCD，推出∠DBC=∠CAE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DBC+∠BDC=90°，求出∠DAM+∠ADM=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠AMD=90°，根據(jù)垂直定義推出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對頂角相等，垂直定義等知識點的綜合運用，關(guān)鍵是推出∠AMD=90°，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)角相等．