Question

化簡與求值：
（1）化簡：

x-1

x+2

÷

x2-2x+1

x2-4

+

1

x-1

；
（2）有一道題：“先化簡再求值：（

x-1

x+1

+

2x

x2-1

）÷

1

x2-1

，其中x=-

2011

”，小明做題時把“x=-

2011

”錯抄成了“x=

2011

”，但他的計算結(jié)果也是正確，請你通過計算解釋這是怎么回事？

Answer 1

分析：（1）原式第一項除數(shù)分母利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，再利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運算化為乘法運算，約分后相加即可得到結(jié)果；
（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)將除法運算化為乘法運算，約分得到最簡結(jié)果，由互為相反數(shù)的兩數(shù)平方相等，得到“x=-

2011

”錯抄成了“x=

2011

”，結(jié)果也是正確的．

解答：解：（1）原式=

x-1

x+2

•

(x+2)(x-2)

(x-1)2

+

1

x-1

=

x-2

x-1

+

1

x-1

=

x-2+1

x-1

=

x-1

x-1

=1；
（2）原式=[

x-1

x+1

+

2x

(x+1)(x-1)

]•（x+1）（x-1）=（x-1）²+2x=x²+1，
∵當(dāng)x=-

2011

或x=

2011

時，x²的值均為2011，
∴小明雖然把x值抄錯，但結(jié)果也是正確的．

點評：此題考查了分式的化簡求值，分式的加減運算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現(xiàn)多項式，應(yīng)將多項式分解因式后再約分．