Question

如圖，將一三角板放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于Q．
探究：設A、P兩點間的距離為x．
（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與PB之間有怎樣的數量關系？試證明你的猜想；
（2）當點Q在邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數關系，并寫出函數自變量x的取值范圍；
（3）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置．并求出相應的x值，如果不可能，試說明理由．

Answer 1

（1）PQ=PB，（1分）
過P點作MN∥BC分別交AB、DC于點M、N，
在正方形ABCD中，AC為對角線，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90°，
∴∠BPM+∠NPQ=90°；
又∵∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP≌Rt△NPQ中，
∵

∠PMB=∠PNQ=90° BM=PN ∠MBP=∠NPQ

∴Rt△MBP≌Rt△NPQ，（2分）
∴PB=PQ．

（2）∵S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ，
∵AP=x，
∴AM=

2

2

x，
∴CQ=CD-2NQ=1-

2

x，
又∵S_△PBC=

1

2

BC•BM=

1

2

•1•（1-

2

2

x）=

1

2

-

2

4

x，
S_△PCQ=

1

2

CQ•PN=

1

2

（1-

2

x）•（1-

2

2

x），
=

1

2

x2-

3 2

4

x+

1

2

，
∴S_{四邊形PBCQ}=

1

2

x2-

2

x+1．（0≤x≤

2

2

）．（4分）

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．
①當點P與點A重合時，點Q與點D重合，
PQ=QC，此時，x=0．（5分）
②當點Q在DC的延長線上，且CP=CQ時，（6分）
有：QN=AM=PM=

2

2

x，CP=

2

-x，CN=

2

2

CP=1-

2

2

x，CQ=QN-CN=

2

2

x-（1-

2

2

x）=

2

x-1，
∴當

2

-x=

2

x-1時，x=1．（7分）．