如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形ABCO的面積為15,邊OA比OC大2.E為BC的中點(diǎn),以O(shè)E為直徑的⊙O′交軸于D點(diǎn),過點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F。
(1)求OA、OC的長;
(2)求證:DF為⊙O′的切線;
(3)小明在解答本題時(shí),發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形。由此,他斷定:“直線BC上一定存在除點(diǎn)E以外的點(diǎn)P,使△AOP也是等腰三角形,且點(diǎn)P一定在⊙O′外”。你同意他的看法嗎?請(qǐng)充分說明理由。
(1)OC=3, OA=5
(2)證明略
(3)略
解析:(1)在矩形OABC中,設(shè)OC=x 則OA=x+2,依題意得
解得:
(不合題意,舍去) ∴OC=3, OA=5 ……………3分
(2)連結(jié)O′D,在矩形OABC中,OC=AB,∠OCB=∠ABC=90,CE=BE=
∴ △OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠EOA=∠EAO
在⊙O′中, ∵ O′O= O′D ∴∠EOA=∠O′DO
∴∠O′DO =∠EAO ∴O′D∥AE,
∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D
又∵點(diǎn)D在⊙O′上,O′D為⊙O′的半徑 ,∴DF為⊙O′切線.……………6分
不同意. 理由如下:
①當(dāng)AO=AP時(shí),
以點(diǎn)A為圓心,以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點(diǎn)
過P1點(diǎn)作P1H⊥OA于點(diǎn)H,P1H = OC = 3,∵A P1= OA = 5
∴A H = 4,∴OH =1
求得點(diǎn)P1(1,3) 同理可得:P4(9,3)…………8分
②當(dāng)OA=OP時(shí),同上可求得::P2(4,3),P3(4,3)
因此,在直線BC上,除了E點(diǎn)外,既存在⊙O′內(nèi)的點(diǎn)P1,又存在⊙O′外的點(diǎn)P2、P3、P4,它們分別使△AOP為等腰三角形.……………10分
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BD |
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5 |
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