Question

如圖，PAB，PCD是⊙O的兩條割線，AB是⊙O的直徑，AC∥OD．
（1）求證：CD=

 

；（先填后證）
（2）若

PA

PC

=

5

6

，試求

AB

AD

的值．

Answer 1

分析：（1）由于AC∥OD，OA=OD，故∠1=∠2，∠2=∠3．即∠1=∠3，則

CD

=

BD

，CD=BD；
（2）由于AC∥OD，故

PA

PC

=

AO

CD

，由于

PA

PC

=

5

6

，CD=BD，故

AO

BD

=

5

6

，因為AB=2AO，所以

AB

BD

=

5

3

，又因為AB是⊙O的直徑，所以∠ADB=90°，AD²+BD²=AB²，由

AB

BD

=

5

3

，設AB=5k，BD=3k，AD=4k，代入代數式即可求解．

解答：解：（1）求證：CD=BD，
證明：∵AC∥OD，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴

CD

=

BD

．
∴CD=BD．

（2）∵AC∥OD，
∴

PA

PC

=

AO

CD

．
∵

PA

PC

=

5

6

，CD=BD，
∴

AO

BD

=

5

6

．
∵AB=2AO，
∴

AB

BD

=

5

3

．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴AD²+BD²=AB²
∵

AB

BD

=

5

3

，設AB=5k，BD=3k，
∴AD=4k．
∴

AB

AD

=

5

4

．

點評：本題考查的是平行線的性質及圓周角定理，等腰三角形的，比較復雜，是一道具有綜合性的題目．