3.如圖,已知A(-4,n),B(2,-4)是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象和一次函數(shù)y=ax+b的圖象的兩個(gè)交點(diǎn).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求△AOB的面積;
(3)根據(jù)圖象直接寫出不等式ax+b-$\frac{k}{x}$<0的解集.

分析 (1)先把B(2,-4)代入y=$\frac{k}{x}$得到k=-8,再把A(-4,n)代入y=-$\frac{8}{x}$可求出n=2,然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式;
(2)先求出直線y=-x-2與x軸交點(diǎn)C的坐標(biāo),然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC進(jìn)行計(jì)算;
(3)觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x<-4或0<x<2時(shí),一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象上方,即使ax+b-$\frac{k}{x}$<0.

解答 解:(1)把B(2,-4)代入y=$\frac{k}{x}$的得m=2×(-4)=-8,
所以反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{8}{x}$,
把A(-4,n)代入y=-$\frac{8}{x}$得-4n=-8,解得n=2,
把A(-4,2)和B(2,-4)代入y=kx+b得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=2}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$.
所以一次函數(shù)的解析式為y=-x-2;

(2)直線y=-x-2與x軸交于點(diǎn)C(-2,0),
S△AOB=S△AOC+S△BOC=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6;

(3)不等式kx+b-$\frac{k}{x}$<0的解集為-4<x<0或x>2;
故答案為:-4<x<0或x>2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式.也考查了觀察函數(shù)圖象的能力以及用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式.

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