Question

如圖，B，C，E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形．連接BG，DE．
（1）①求證：BG=DE；②圖中是否存在通過(guò)旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)指出，并說(shuō)出旋轉(zhuǎn)過(guò)程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，延長(zhǎng)BG恰好交于DE的中點(diǎn)M，求DC+CE的值．

Answer 1

解：（1）①∵BC=DC，
∠BCG=∠DCE=90°，
CG=CE，
∴△BCG≌△DCE（SAS），（3分）
∴BG=DE；

②存在，△BCG≌△DCE，①中已證明，且△BCG和△DCE有共同頂點(diǎn)C，則△DCE沿C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)向左90°與△BCG重合；

（2）連接BD．
BD=；
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE；
又∵∠CDE+∠MEC=90°，
∴∠CBG+∠MEC=90°，
∴BM⊥DE，
又∵M(jìn)是DE的中點(diǎn)，
∴BE=BD=，
∴DC+CE=BC+CE=．
分析：（1）①根據(jù)已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，所以BG=DE；②存在，△BCG和△DCE可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)重合．求證△BCG≌△DCE即可；
（2）因?yàn)镃D=BC，所以可以將問(wèn)題求DC+CE的值轉(zhuǎn)化為求BC+CE的值．連接BD．利用勾股定理求正方形ABCD的對(duì)角線BD=，利用①中的全等三角形△BCG≌△DCE的對(duì)應(yīng)角相等∠CBG=∠CDE；又有直角三角形的兩個(gè)銳角互余知∠CDE+∠MEC=90°，利用等量代換求得∠CBG+∠MEC=90°，即BM⊥DE；然后由等腰三角形的性質(zhì)解答即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)（各邊相等且各內(nèi)角為90°）、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．本題中求證△BCG≌△DCE是解題的關(guān)鍵，另外，作輔助線BD，將問(wèn)題求DC+CE的值轉(zhuǎn)化為求BC+CE的值，降低了題的難度與梯度．