Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（

3

，0），B（3

3

，2），C（0，2）．動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作EF⊥AB，交BC于點(diǎn)F，連接DA、DF．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，AB∥DF；
（3）設(shè)四邊形AEFD的面積為S．①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
②若一拋物線y=-x²+mx經(jīng)過動(dòng)點(diǎn)E，當(dāng)S＜2

3

時(shí)，求m的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）求∠ABC的度數(shù)即求∠BAx的度數(shù)，過B作BM⊥x軸于M，則AM=2

3

，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度數(shù)．
（2）當(dāng)AB∥FD時(shí)，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的長表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的長表示出BF，然后可根據(jù)CF+BF=BC來求出t的值．
（3）①連接DE，根據(jù)D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四邊形ODEG是矩形，因此DE∥x軸，那么四邊形AEFD的面積可分成三角形ADE和三角形EFD兩部分來求出．兩三角形都以DE為底，兩三角形高的和正好是OC的長，因此四邊形ADEF的面積就等于

1

2

DE•OC，關(guān)鍵是求出DE的長．如果過A作DE的垂線不難得出DE=OA+AE•sin60°，由此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②已知了S的取值范圍可根據(jù)①的函數(shù)關(guān)系式求出t的取值范圍．在①題已經(jīng)求得了E點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中，用m表示出t的值，然后根據(jù)t的取值范圍即可求出m的取值范圍．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M
∵C（0，2），B（3

3

，2）
∴BC∥OA
∴∠ABC=∠BAM
∵BM=2，AM=2

3

∴tan∠BAM=

3

3

∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF
∴∠CFD=∠CBA=30°
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=

3

（2-t）
∴AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=

2(4-2t)

3

∴

3

（2-t）+

2(4-2t)

3

=3

3

，
∴t=

5

7

．

（3）①過點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，
則EG=t，OG=

3

+

3

t
∴E（

3

+

3

t，t）
∴DE∥x軸
S=S_△DEF+S_△DEA=

1

2

DE×CD+

1

2

DE×OD
=

1

2

DE×OC=

1

2

×（

3

t+

3

）×2
=

3

+

3

t．
②當(dāng)S＜2

3

時(shí)，
由①可知，S=

3

+

3

t
∴

3

t+

3

＜2

3

，
∴t＜1，
∵t＞0，
∴0＜t＜1，
∵y=-x²+mx，點(diǎn)E（

3

+

3

t，t）在拋物線上，
當(dāng)t=0時(shí)，E（

3

，0），
∴m=

3

，
當(dāng)t=1時(shí)，E（2

3

，1），
∴m=

13 3

6

，
∴

3

＜m＜

13 3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．綜合性強(qiáng)難度較大．