Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且二次函數(shù)的最小值為-4，
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若M（m，n）（0＜m＜3）為此拋物線上的一個動點(diǎn)，連接MC、MB，試求當(dāng)m為何值時，△MBC的面積最大？并求出這個最大值；
（3）已知P為拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥x軸交拋物線于另一點(diǎn)Q（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)），分別作PE⊥x軸，QF⊥x軸，垂足分別為E、F，若四邊形PQFE為正方形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出對稱軸解析式，從而得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)頂點(diǎn)式解析式，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入計算即可得解；
（2）根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出OB、OC的長度，利用勾股定理求出BC，再求出直線BC的解析式，根據(jù)三角形的面積，當(dāng)平行于BC的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時△MBC的面積最大，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等設(shè)出平行線的解析式，然后與拋物線聯(lián)立消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根的判別式△=0求出直線的解析式，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)M到BC的距離，然后求解即可；
（3）根據(jù)拋物線的解析式設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），根據(jù)拋物線的對稱性以及點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，表示出EF=2（1-x），然后根據(jù)正方形的四條邊都相等列式，再分①x＜-1時點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是正數(shù)，②-1＜x＜1時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是負(fù)數(shù)兩種情況去掉絕對值號，解方程求解即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對稱軸為直線x=

-1+3

2

=1，
∵二次函數(shù)的最小值為-4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
設(shè)頂點(diǎn)式解析式為y=a（x-1）²-4，
則a（-1-1）²-4=0，
解得a=1，
所以，二次函數(shù)解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3，即y=x²-2x-3；

（2）令x=0，則y=-3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-3），
∴OB=3，OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
根據(jù)勾股定理，BC=

32+32

=3

2

，
不難求出，直線BC的解析式為y=x-3，
根據(jù)三角形的面積，當(dāng)平行于直線BC直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，點(diǎn)M到BC的距離最大，此時，△MBC的面積最大，
設(shè)過點(diǎn)M的直線為y=x+e，
聯(lián)立

y=x2-2x-3 y=x+e

，
整理得，x²-3x-3-e=0，
△=b²-4ac=9+4（3+e）=0，
解得e=-

21

4

，
此時，x₁+x₂=2m=-

-3

1

=3，
解得m=

3

2

，
n=

3

2

-

21

4

=-

15

4

，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

2

，-

15

4

），
點(diǎn)M到直線BC的距離為|-3-（-

21

4

）|×

2

2

=

9 2

8

，
S_△MBC=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3），
∵點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，
∴EF=2（1-x），
∵四邊形PQFE為正方形，
∴|x²-2x-3|=2（1-x），
根據(jù)函數(shù)圖象，①x＜-1時，x²-2x-3=2（1-x），
整理得，x²=5，
解得x₁=-

5

，x₂=

5

（舍去），
x²-2x-3=（-

5

）²-2×（-

5

）-3=2

5

+2，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

5

，2

5

+2）；
②-1＜x＜1時，-（x²-2x-3）=2（1-x），
整理得，x²-4x-1=0，
解得x₁=2-

5

，x₂=2+

5

（舍去），
x²-2x-3=（2-

5

）²-2×（2-

5

）-3=2-2

5

，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-

5

，2-2

5

）；
綜上所述，存在點(diǎn)P（-

5

，2

5

+2）或（2-

5

，2-2

5

），使四邊形PQFE為正方形．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的四條邊都相等的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，綜合性較強(qiáng)，難度較大，（1）先求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式解析式求解更加簡便，（2）注意兩平行直線解析式的k值相等的利用，（3）要分點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是正數(shù)與負(fù)數(shù)兩種情況討論求解．