(2012•寧波模擬)已知等邊△ABC和Rt△DEF按如圖所示的位置放置,點B,D重合,且點E、B(D)、C在同一條直線上.其中∠E=90°,∠EDF=30°,AB=DE=6
3
,現(xiàn)將△DEF沿直線BC以每秒
3
個單位向右平移,直至E點與C點重合時停止運動,設(shè)運動時間為t秒.
(1)試求出在平移過程中,點F落在△ABC的邊上時的t值;
(2)試求出在平移過程中△ABC和Rt△DEF重疊部分的面積s與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當D與C重合時,點H為直線DF上一動點,現(xiàn)將△DBH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACK,則是否存在點H使得△BHK的面積為4
3
?若存在,試求出CH的值;若不存在,請說明理由.
分析:(1)分當F在邊AB上時和在AC邊上時,兩種情況進行討論,分別利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求得移動的距離,即可求得時間;
(2)根據(jù)(1)得到的時間,即可根據(jù)t的范圍分情況進行討論,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),以及三角形的面積公式即可得到函數(shù)解析式;
(3)首先求得當B,H,K在一條直線上時CK的長度,然后利用:△BHK的面積、△BCK的面積、△XKH的面積、△BCH的面積之間的關(guān)系,即可得到一個關(guān)于CK的長度的方程,解得CK的長度.
解答:解:(1)當F在邊AB上時,如圖(1),作AM⊥BC,則AM=
3
2
AB=
3
2
×6
3
=9,
∵AM⊥BC,∠FEB=90°
∴EF∥AM,
∴△BEF∽△BMA,
BE
BM
=
EF
AM
,即
BE
3
3
=
6
9
,解得:BE=2
3
,則移動的距離是:6
3
+2
3
=8
3
,則t=
8
3
3
=8;
當F在AC上時,如圖(2)同理可得:EC=2
3
,則移動的距離是:2×6
3
-2
3
=12
3
-2
3
=10
3
,則t=
10
3
3
=10,
故t的值是:8或10;





(2)當0<t≤6時,重合部分是三角形,如圖(3),設(shè)AB與BE交于點N,
則BD=
3
t,
則NB=
1
2
BD=
3
2
t,ND=
3
2
BD=
3
2
×
3
t=
3
2
t,則s=
1
2
NB•ND=
1
2
×
3
2
3
2
t=
3
3
8
t2;
當6<t≤8時,重合部分是:△EFD在△ABC左邊的部分的面積是:
1
2
(6-t)2 sin30°•cos30°
=
3
8
(6-t)2
右邊的部分的面積是:
3
2
t-9,
則S=18
3
-
3
8
(6-t)2-
3
2
t+9=-
3
8
t2+
3
3
-3
2
t+
27
3
2
+9,
當8<t<10時,如圖(4),則CD=
3
t-6
3

∵∠TCB=60°,∠D=30°
∴∠DTC=30°,
∴∠D=∠DTC,
∴TC=CD=
3
t-6
3
,
則在直角△THC中,TH=
3
2
TC=
3
2
3
t-6
3
)=
3
2
t-9,
則s=18
3
-
1
2
CD•TH=18
3
-
1
2
3
t-6
3
)(
3
2
t-9)=-
3
3
4
(t-6)2+18
3
;
當10≤t<12時,重合部分如圖(5),
EC=12
3
-
3
t,
則直角△ECJ中,EJ=
3
EC=
3
(12
3
-
3
t),
則s=
1
2
EC•EJ=
1
2
×
3
(12
3
-
3
t)2=
3
3
2
(12-t)2

(3)當B,H,K在一條直線上時,CH=CK=BC•tan30°=6
3
×
3
3
=6,
設(shè)CH=x,作HL⊥BC于點L,則HL=
1
2
x,
△CKH是邊長是x的等邊三角形,則面積是
3
4
x2,
△BCH的面積是:
1
2
BC•HL=3
3
×
1
2
x=
3
3
2
x,
△BCK的面積是:3
3
x.
當0<CH<6時,△BHK的面積=△BCK的面積-△CKH的面積-△BCH的面積,即3
3
x-
3
3
2
x-
3
4
x2=4
3
,方程無解.
當CH>6時,△BHK的面積=△CKH的面積+△BCH的面積-△BCK的面積,即
3
4
x2+
3
3
2
x-3
3
x=4
3
,解得:x=8或-2(舍去),故x=8
總之,CH=8.
點評:本題考查了相似三角形的性質(zhì),正確對t的情況進行分類是關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)如圖,直線l1⊥x軸于點(1,0),直線l2⊥x軸于點(2,0),直線l3⊥x軸于點(3,0),…,直線ln⊥x軸于點(n,0)(n為正整數(shù)).函數(shù)y=x的圖象與直線l1,l2,l3,…,ln分別交于點A1,A2,A3,…,An;函數(shù)y=2x的圖象與直線l1,l2,l3,…,ln分別交于點B1,B2,B3,…,Bn.如果△OA1B1的面積記作S,四邊形A1A2B2B1的面積記作S1,四邊形A2A3B3B2的面積記作S2,…,四邊形AnAn+1Bn+1Bn的面積記作Sn,那么S1=
3
2
3
2
,S2=
5
2
5
2
,S2012=
2012
1
2
2012
1
2

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)6的倒數(shù)等于( 。

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)先化簡,再求值:
x2+4x+4
x2-4
-
x
x-2
,其中x=1.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•寧波模擬)設(shè)0<n<m,m2+n2=4mn,則
m2-n2
mn
的值等于( 。

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(2012•寧波模擬)(1)如圖1,正三角形ABC內(nèi)接于⊙O,P是劣弧BC上的任意一點,連接PB、PC,求證:PB+PC=PA.
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