Question

10、已知a、b、c均為正整數，且滿足a²+b²=c²，又a為質數．
證明：（1）b與c兩數必為一奇一偶；（2）2（a+b+1）是完全平方數．

Answer 1

分析：從a²+b²=c²的變形入手；a²=c²-b²，根據a是質數，則a²一定是只有因數1，a和a²，運用質數、奇偶數性質證明．

解答：證明：（1）∵a²+b²=c²，
∴a²=c²-b²=（c+b）（c-b），
因為a是質數，而（c+b）和（c-b）不可能都等于a，所以c-b=1，c+b=a²，得到c=b+1，
則b，c是兩個連續(xù)的正整數，
∴b與c兩數必為一奇一偶；

（2）將c=b+1代入原式得：
a²+b²=（b+1）²=b²+2b+1
得到a²=2b+1
則a²+2a+1=2b+1+2a+1=2（a+b+1）
左邊等于（a+1）²是一個完全平方數，
所以右邊2（a+b+1）是一個完全平方數，得證．

點評：本題主要考查了質數的性質，正確理解若a是質數，則a²一定是只有因數1，a和a²，是解決本題的關鍵．