Question

已知矩形OABC的邊OC的長(zhǎng)為方程x²-x-6=0的一根，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，其中A、C兩點(diǎn)分別在x軸、y軸上．將△ABC沿AC翻折，點(diǎn)B落到B′處，B′C交x軸于點(diǎn)D，且sin∠OCD=

1

2

．
（1）求B′的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接PQ，設(shè)以P、Q、D、C為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）圖形經(jīng)過(guò)翻折變換，△ABC≌△AB'C，在Rt△AB'C中解得B'的坐標(biāo)，
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，以P、Q、D、C為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積為S=S_△OCD-S_△OPQ列出函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）過(guò)B'點(diǎn)作B'E⊥x軸，
圖形經(jīng)過(guò)翻折變換，△ABC≌△AB'C，
由題知OC=AB'=3，
在Rt△AB'E中，解得AE=

3

2

3

，B'E=

3

2

，
∵OC=3，OA=3

3

，
∴B'點(diǎn)坐標(biāo)為（

3 3

2

，-

3

2

）；

（2）當(dāng)0≤t≤

3

2

時(shí)，
以P、Q、D、C為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積為S=S_△OCD-S_△OPQ，
∴S=

3 3

2

-t（3-t），
S=t²-3t+

3 3

2

，
當(dāng)

3

2

＜t≤

3 3

2

時(shí)，
S=S_△OCQ-S_△OPD=

1

2

•3•2t-

1

2

•（3-t）•

3

=（3+

3

2

）t-

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圖形的翻折變換，解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．