Question

（2010•來(lái)賓）已知矩形OABC的頂點(diǎn)O在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸上，且OA=3cm，OC=4cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，且運(yùn)動(dòng)的速度均為1cm/秒，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）試用t表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，并指出t的取值范圍；
（2）試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使得點(diǎn)O、N、M三點(diǎn)同在一條直線(xiàn)上？若存在，則求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件先求出AC的值，求出sin∠AOC的值，作NE⊥OA于E，利用相似三角形的性質(zhì)就可以表示出NE、OE的值，從而求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，由M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間就可以求出t的范圍．
（2）作NF⊥AB于F，根據(jù)N點(diǎn)的坐標(biāo)就可以表示出S_△OAN、S_△AMN，從而可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的解析式=S△OAM，建立方程求出t的值．即可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，作NE⊥OA于E，
∴∠NEA=90°．
∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠B=90°，BC=OA，OC=AB．
∴NE∥OC，
∴

AN

AC

=

NE

OC

，
∵OA=3cm，OC=4cm，在Rt△AOC中，由勾股定理，得
AC=5，
∵CN=t，
∴AN=5-t．
∴

5-t

5

=

NE

4

，
∴NE=4-

4

5

t．
∵tan∠OAC=

EN

AE

=

4

3

，
∴

4- 4 5 t

AE

=

4

3

，
∴AE=3-

3

5

t，
∴OE=

3

5

t，
∴N（

3

5

t，4-

4

5

t）．
∵

AB

1

=4，
∴0＜t≤4；

（2）作NF⊥AB于F，
∴四邊形AFNE是矩形，
∴NF=AE，NE=AF．
∴NF=3-

3

5

t，
∵AM=t，
∴S四邊形OAMN=

OA．NE

2

+

AM．NF

2

，
=

3(4- 4 5 t)

2

+

t(3- 3 5 t)

2

，
=-

3

10

t2+

3

10

t+6；

（3）當(dāng)O、N、M三點(diǎn)同在一條直線(xiàn)上時(shí)，
-

3

10

t2+

3

10

t+6=

3×t

2

，
解得：t₁=-2-2

6

（舍去），t₂=-2+2

6

＜4，
故t的值為-2+2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的運(yùn)用，不規(guī)則四邊形的面積的運(yùn)用，三角形的面積的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用．解答時(shí)每一問(wèn)之間是遞進(jìn)關(guān)系，需要認(rèn)真審題，逐一解答．