Question

如圖，AB是半圓O的直徑，以O(shè)為圓心，OE長為半徑的小半圓交AB于E，F(xiàn)兩點，弦AC是小半圓的切線，D為切點，已知，AO=4，AC=4，則圖中陰影部分的面積等于    ．

Answer 1

【答案】分析：連接OC，由垂徑定理求出AD=DC=2，由勾股定理求出OD=2=AO，求出∠A=30°=∠ACO，∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，分別求出扇形AOC的面積、△AOC的面積、扇形DOF的面積、△ADO的面積、大半圓的面積，代入陰影部分的面積（S_大半圓-（S_扇形AOC-S_△AOC）-S_△ADO-S_扇形DOF）求出即可．
解答：解：
連接OC，
∵AC切小半圓于D，
∴OD⊥AC，
∴由垂徑定理得：AD=DC=2，
在Rt△ADO中，由勾股定理得：OD=2=AO，
∴∠A=30°=∠ACO，
∴∠AOD=60°，⊙AOC=120°，∠COB=60°，
∴扇形AOC的面積是：=π，
△AOC的面積是×AC×OD=×4×2=4，
扇形DOF的面積是：=π，
△ADO的面積是×AD×OD=2，
大半圓的面積是π×4²=16π，
∴陰影部分的面積是：S_大半圓-（S_扇形AOC-S_△AOC）-S_△ADO-S_扇形DOF
=16π-（π-4）-2-π
=2+π．
故答案為：2+π．
點評：本題考查了切線性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，扇形面積，三角形的面積等知識點的綜合運用，主要考查學(xué)生的計算能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．