Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,直線x=2與軸相交于點(diǎn),連結(jié),拋物線y=x從點(diǎn)沿方向平移,與直線x=2交于點(diǎn),頂點(diǎn)到點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng)．

（1）求線段所在直線的函數(shù)解析式;
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
①用的代數(shù)式表示點(diǎn)的坐標(biāo);
②當(dāng)為何值時(shí),線段最短;
（3）當(dāng)線段最短時(shí),相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn),使△的面積與△的面積相等,若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x;
（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,m²﹣2m+4）;②當(dāng)m=1時(shí),PB最短;
（3）拋物線上存在點(diǎn),Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等,理由見(jiàn)解析．

試題分析:（1）根據(jù)A點(diǎn)的坐標(biāo),用待定系數(shù)法即可求出直線OA的解析式;
（2）①由于M點(diǎn)在直線OA上,可根據(jù)直線OA的解析式來(lái)表示出M點(diǎn)的坐標(biāo),因?yàn)镸點(diǎn)是平移后拋物線的頂點(diǎn),因此可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)出這個(gè)二次函數(shù)的解析式,P的橫坐標(biāo)為2,將其代入拋物線的解析式中即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo);
②PB的長(zhǎng),實(shí)際就是P點(diǎn)的縱坐標(biāo),因此可根據(jù)其縱坐標(biāo)的表達(dá)式來(lái)求出PB最短時(shí),對(duì)應(yīng)的m的值;
（3）根據(jù)（2）中確定的m值可知:M、P點(diǎn)的坐標(biāo)都已確定,因此AM的長(zhǎng)為定值,若要使△QMA的面積與△PMA的面積相等,那么Q點(diǎn)到AM的距離和P到AM的距離應(yīng)該相等,因此可分兩種情況進(jìn)行討論:
①當(dāng)Q在直線OA下方時(shí),可過(guò)P作直線OA的平行線交y軸于C,那么平行線上的點(diǎn)到OA的距離可相等,因此Q點(diǎn)必落在直線PC上,可先求出直線PC的解析式,然后利用拋物線的解析式,看得出的方程是否有解,如果沒(méi)有則說(shuō)明不存在這樣的Q點(diǎn),如果有解,得出的x的值就是Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),可將其代入拋物線的解析式中得出Q點(diǎn)的坐標(biāo);
②當(dāng)Q在直線OA上方時(shí),同①類似,可先找出P關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D,過(guò)D作直線OA的平行線交y軸于E,那么直線DE上的點(diǎn)到AM的距離都等于點(diǎn)P到AM上的距離,然后按①的方法進(jìn)行求解即可．
試題解析:（1）設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx,
∵A（2,4）,
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x;
（2）①∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在線段OA上移動(dòng),
∴y=2m（0≤m≤2）．
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m,2m）．
∴拋物線函數(shù)解析式為y=（x﹣m）²+2m．
∴當(dāng)x=2時(shí),y=（2﹣m）²+2m=m²﹣2m+4（0≤m≤2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,m²﹣2m+4）;
②∵PB=m²﹣2m+4=（m﹣1）²+3,
又∵0≤m≤2,
∴當(dāng)m=1時(shí),PB最短;
（3）當(dāng)線段PB最短時(shí),此時(shí)拋物線的解析式為y=（x﹣1）²+2
即y=x²﹣2x+3．
假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q,使S_△QMA=S_△PMA．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x,x²﹣2x+3）．
①點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí),過(guò)P作直線PC∥AO,交y軸于點(diǎn)C,
∵PB=3,AB=4,
∴AP=1,
∴OC=1,
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,﹣1）．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,3）,
∴直線PC的函數(shù)解析式為y=2x﹣1．
∵S_△QMA=S_△PMA,
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x﹣1上．
∴x²﹣2x+3=2x﹣1．
解得x₁=2,x₂=2,
即點(diǎn)Q（2,3）．
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合．
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q（2,3）,使△QMA與△APM的面積相等．
②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí),
作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱稱點(diǎn)D,過(guò)D作直線DE∥AO,交y軸于點(diǎn)E,
∵AP=1,
∴EO=DA=1,
∴E、D的坐標(biāo)分別是（0,1）,（2,5）,
∴直線DE函數(shù)解析式為y=2x+1．
∵S_△QMA=S_△PMA,
∴點(diǎn)Q落在直線y=2x+1上．
∴x²﹣2x+3=2x+1．
解得:x₁=2+,x₂=2﹣．
代入y=2x+1得:y₁=5+2,y₂=5﹣2．
∴此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）
使△QMA與△PMA的面積相等．
綜上所述,拋物線上存在點(diǎn),Q₁（2+,5+2）,Q₂（2﹣,5﹣2）,Q₃（2,3）,使△QMA與△PMA的面積相等．
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考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題．