Question

（1）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等， 試判斷AB與CD的位置關系，并說明理由．

（2）結論應用：如圖2，點M，N在反比例函數（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F． 試證明：MN∥EF．  
（3）變式探究：如圖3，點M，N在反比例函數（k＞0）的圖象上，過點M作ME⊥y軸，過點N作NF⊥x軸，過點M作MG⊥x軸，過點N作NH⊥y軸，垂足分別為E、F、G、H． 試證明：EF ∥GH．

Answer 1

（1）AB∥CD，理由見解析（2）、（3）證明見解析

（1）證明：分別過點C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA＝∠DHB＝90°．
∴ CG∥DH．   
∵△ABC與△ABD的面積相等， ∴ CG＝DH．  
∴ 四邊形CGHD為平行四邊形． ∴ AB∥CD．（4分 ）
（2）①證明：連結MF，NE．
設點M的坐標為（x₁，y₁），點N的坐標為（x₂，y₂）．
∵ 點M，N在反比例函數（k＞0）的圖象上，
∴ ，．  
∵ ME⊥y軸，NF⊥x軸， ∴ OE＝y₁，OF＝x₂． ∴ S_△EFM＝， 
S_△EFN＝．   ∴S_△EFM＝S_△EFN．           
由（1）中的結論可知：MN∥EF． （8分）
（3） 法一：連接FM、EN、MN，同（2）可證MN∥EF，同法可證GH∥MN，故EF ∥GH．

法二：直接利用OE·OG=OF·OH證△OEF∽△OHG(具體過程略)（12分）
（1）分別過點C、D作CG⊥AB、DH⊥AB，垂足為G、H，根據三角形的面積求出CG=DH，推出平行四邊形CGDH即可
（2）證△EMF和△NEF的面積相等，根據（1）即可推出答案
（3）利用OE·OG=OF·OH證△OEF∽△OHG，即可得出結論