Question

現(xiàn)有如下一系列圖形：
當(dāng)n=1時，長方形ABCD分為2個直角三角形，總計數(shù)出5條邊．
當(dāng)n=2時，長方形ABCD分為8個直角三角形，總計數(shù)出16條邊．
當(dāng)n=3時，長方形ABCD分為18個直角三角形，總計數(shù)出33條邊．
…
按如上規(guī)律請你回答：當(dāng)n=100時，長方形ABCD應(yīng)分為多少個直角三角形？總計數(shù)出多少條邊？

Answer 1

分析：由圖形可以看出，第n個圖形中，長方形的長被分成了n份，長方形的寬也被分成了n份，所以每個圖形中有n×n個小長方形，每個長方形又分成了2個直角三角形，所以第n個圖形中有2n²個直角三角形．當(dāng)n=1，2n²=2；n=2，2n²=8；n=3，2n²=18；正好和提供的數(shù)據(jù)相同，證明了結(jié)論的正確性．
圖形中的邊長里除了最邊上哪些外都是由兩個三角形邊長重合形成的，最外邊的邊長有4n個，如果每個三角形邊長和再加上4n就將圖形中邊長加了兩遍，所以圖形中邊長為

2n2? 3+4n

2

，即：3n²+2n．當(dāng)n=1，3n²+2n=3+2=5；n=2，3n²+2n=12+4=16；n=3，3n²+2n=27+6=33；正好和提供的數(shù)據(jù)相同，證明了結(jié)論的正確性．

解答：解：當(dāng)長方形的長和寬分成n份時，如圖所示連接各點，長方形ABCD分為2n²個直角三角形，總計數(shù)出3n²+2n條邊；
當(dāng)n=100時，2n²=2×100²=20000；
3n²+2n=3×100²+2×100=30200；
答：當(dāng)n=100時，長方形ABCD應(yīng)分為20000個直角三角形，總計數(shù)出30200條邊．

點評：此題考查了數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，分析圖形找規(guī)律，比較明顯，然后再由提供的數(shù)據(jù)證明規(guī)律的正確性，最后推廣到任意情況下進(jìn)行求解．