Question

有一個圓，第一次用一條直徑將圓周分成兩個半圓周，在每個分點上標上1；第二次，再將兩個半圓周分別分成兩個

1

4

圓周，在新產生的分點上標上相鄰兩數之和的

1

2

；第三次，再將四個

1

4

圓周分別分成兩個

1

8

圓周，在新產生的分點上標上相鄰兩數之和的

1

3

；第四次，再將八個

1

8

圓周分別分成兩個

1

16

圓周，在新產生的分點上標上相鄰兩數之和的

1

4

…如此進行了100次．請問：最后圓周上的所有數之和是多少？

Answer 1

考點：哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈

專題：數字串問題

分析：本題不必想得太復雜，即第n次分圓后增加了第（n-1）次分圓后所有數字之和的

n

2

（因為是相鄰兩數之和，所以每個數計算了2次），設第n次后數字的總和為X（n），第（n-1）次的總和為X（n-1），可得如下的遞推關系式：
X（n）=X（n-1）+

2X×(n-1)

n

，
X（n）=X（n-1）×

n+2

n

，
其中X（1）=2，寫出各項連乘代入X（n）有：
X（n）=

n+2

n

×

n+1

n-1

×…×

4

2

×2
約分為：X（n）=1×

(n+2)×(n+1)

3

然后代入求和即可．

解答： 解：由以上分析，可得：
X（n）=1×

(n+2)×(n+1)

3

=

(100+2)×(100+1)

3

=

102×101

3

=3434
答：最后圓周上的所有數之和是3434．

點評：本題主要考查分析總結歸納能力，關鍵在于求出通項公式，代入計算．