Question

如圖是一個向右和向下方可以無限延伸的棋盤，橫排為行，豎排為列，將自然數(shù)按已填好的4×4個方格中的數(shù)字顯現(xiàn)的規(guī)律填入方格中．
（1）求位于第3行、第8列的方格內(nèi)的數(shù)；
（2）寫出位于從左上角向右下角的對角線
上的方格內(nèi)的數(shù)組成的數(shù)列的第10個數(shù)；
（3）數(shù)321在哪一個方格內(nèi)？

Answer 1

分析：（1）在第3行中，由左向右的數(shù)字依次是：a₁=6，a₂=9=a₁+3，a₃=13=a₂+4，a₄=18=a₃+5，a_n=a_n-1+（n+1）．
（2）位于從左上角到或下角的對角線上的方格內(nèi)的數(shù)字依次是：b₁=1，b₂=5=b₁+4×1，b₃=13=b₂+4×2，b₄=25=b₃+4×3，b_n+1=b_n+4n．
（3）為求數(shù)321在哪個方格內(nèi)，可將棋盤上的數(shù)按從右上到左下的對角線方向排列如下：
（3）為求數(shù)321在哪個方格內(nèi)，可將棋盤上的數(shù)按從右上到左下的對角線方向排列如下：
第1組1
第2組2，3
第3組4，5，6
第4組7，8，9，10
顯然，從第1組到第n組共包含1+2+3++n=

n(n+1)

2

個數(shù)，故第n組中最大數(shù)是

n(n+1)

2

．

解答：解：a₈=a₇+9=a₆+8+9═a₄+6+7+8+9=18+30=48．
答：位于第3行、第8列的方格內(nèi)的數(shù)是48．
（2）b_n+1=b_n+4n
b₁₀=b₉+4×9=b₈+4×8+4×9
=b₄+4×4+4×5+4×6+4×7+4×8+4×9
=25+4×（4+5+6+7+8+9）
=181．
答：第10個數(shù)為181．
（3）321是第321個數(shù)，321所在“組”的行號是滿足

n(n+1)

2

≥321的最小自然數(shù)n，
從

24?25

2

=300和

25?26

2

=325，可得n=25．
前24組共有1+2+3++24=300個數(shù)，因而321是第25組中第321-300=21個數(shù)．
答：321位于第21行，第5列的方格內(nèi)．

點評：本題是較復(fù)雜的數(shù)陣問題，先找到所求的行或列的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求解．