Question

【題目】已知函數(shù).

（1）曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；

（2）記.

（）討論的單調(diào)性；

（ⅱ）若， 為在上的最小值，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ;(2)答案見解析;(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先求出 ，由 可得；（2）化簡，求出），（ⅰ）討論時， 兩種情況，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，（ⅱ）若， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. ，令，只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出證明其為負(fù)值即可.

試題解析：（1）

因為在處的切線平行于軸，所以，所以；

（2）

（ⅰ）

若，即時，則由得

當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

若，則由得或

構(gòu)造函數(shù)，則

由得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

，所以 (當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

①若在單調(diào)遞增.

②若或，

當(dāng)時， ；當(dāng)時， ；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（ⅱ）若， 在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

，令

則，令，

在單調(diào)遞減，

，

所以存在唯一的使得，

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

故當(dāng)時， 又

所以

所以當(dāng)時，